7.分球入盒问题例析-《中学生数理化》高二数学2024年3月刊

■浙江省绍兴市上虞区上虞中学 章舜龙 在求解排列、组合问题的过程中,我们经 常会遇到一类“分球入盒”的问题或可转化为 “分球入盒”模型的问题。不少同学由于不能 正确对待“球”和“盒”的顺序而导致错解。下 面例析“分球入盒”问题,以期帮助同学们厘 清思路,顺利解答该类问题。 一、球同盒同 例 1 将7个相同的小球,放入4个相 同的箱子中。 (1)每个箱子中至少有一个小球(即箱子 不空),有多少种不同的放法? (2)若箱子允许空,又有多少种不同的放 法? 分析:箱子相同时不需要考虑箱子的顺 序,球相同也无须考虑球的差别,只要考虑各 个箱子中放入小球的数量多少,故可用“穷举 法”求解。 解:(1)箱子不空有3种放法:{1,1,1, 4},{1,1,2,3},{1,2,2,2}。 (2)箱子允许空共有11种放法: {0,0,0,7},{0,0,1,6},{0,0,2,5},{0, 0,3,4},{0,1,1,5},{0,1,2,4},{0,1,3,3}, {0,2,2,3},{1,1,1,4},{1,1,2,3},{1,2,2, 3}。 点评:“穷举法”是求解排列组合问题中 最常见的数学思想方法。此时,“无招胜有 招”。 二、球同盒不同 例 2 将7个相同的小球,放入4个不 同的箱子中。 (1)箱子不空,有多少种不同的放法? (2)若箱子允许空,有多少种不同的放 法? 分析:本题与例1的不同点是这里的4 个箱子是不同的,需考虑箱子间的顺序,若还 用穷举法解就显得繁杂,可将问题转化为方 程正整数解的问题,进而利用“插空法”求解。 解:(1)设第i个箱子里放入mi(i=1,2, 3,4)个球,则问题转化为求不定方程 m1+ m2+m3+m4=7(*)的正整数解的个数。 将7个小球排成一排,用3个隔板将7 个小球分成四份,每一种分隔方法对应一种 放法,7个小球之间有6个间隙,在其中任选 3个插入隔板,有C36=20(种)方法。故共有 20种不同的放法。 (2)箱子允许有空,等价于求(*)式的非 负整数解个数。 设xi=mi+1(i=1,2,3,4),问题转化 为求不定方程x1+x2+x3+x4=11的正整 数解的个数。 仿(1)知共有C310=120(种)不同方法。 对于(2)也可这样思考,此时把7个小球 81 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月 与3个隔板等同看待,认为共有10个元素, 将它们排成一列,每一个排列对应一种放法, 如OOOOO||OO|对应的放法就是:{5,0,2, 0},10个位置任选3个放隔板,其余7个位置 放小球,共有C310=120(种)不同方法。 点评:求解相同元素的分配问题用“隔板 法”,将n个相同的元素分成m 份(n,m 为正 整数),每份至少一个元素,可以用 m-1块 隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙 中,所有分法数为Cm-1n-1。 三、盒同球不同 例 3 将7个不同的小球,放入4个相 同的箱子中。 (1)箱子不空,有多少种不同的放法? (2)箱子允许空,有多少种不同的放法? 分析:此情形中要注意球是不同的,需考 虑其差异,而箱子是相同的就不需要考虑其 顺序,故常用“分类累加法”求解。 解:(1)箱子不空,分为以下三类: ①4个箱子中小球数是{1,1,1,4},放法 有C17C16C15C44/A33=35(种); ②4个箱子中小球数是{1,1,2,3},放法 有C17C16C25C33/A22=210(种); ③4个箱子中小球数是{1,2,2,2},放法 有C17C26C24C22/A33=105(种)。 放法共有35+210+105=350(种)。 (2)箱子允许空,分为下面四类。 ①4个箱子均不空,由(1)知有350种放 法。 ②4个箱子中有1个是空的,则分为下 面四种情形。 ⅰ)4个箱子中小球数是{0,1,1,5},不 同的放法有C17C16C55/A22=21(种); ⅱ)4个箱子中小球数是{0,1,2,4},不 同的放法有C17C26C44=105(种); ⅲ)4个箱子中小球数是{0,1,3,3},不 同的放法有C17C36C33/A22=70(种); ⅳ)4个箱子中小球数是{0,2,2,3},不 同的放法有C27C25C33/A22=105(种)。 此时共有不同的放法数为21+105+ 70+105=301。 ③4个箱子中有2个是空的,又分为下 面三种情形。 ⅰ)4个箱子中小球数是{0,0,1,6},不 同的放法有C17C66=7(种); ⅱ)4个箱子中小球数是{0,0,2,5},不 同的放法有C27C55=21(种); ⅲ)4个箱子中小球数是{0,0,3,4},不 同的放法有C37C44=35(种)。 此时共有不同的放法数为