6.聚焦计数原理的常见题型-《中学生数理化》高二数学2024年3月刊

■广东省汕头市澄海凤翔中学 徐春生 题型一、组数问题 例 1 用0,1,2,3,4,5可以组成 个无重复数字且比2 000大的四位偶数。 解析:完成这件事可分为三类。 ①第一类是个位数字为0的比2 000大 的四位偶数,可以分三步完成: 第一步,选取千位上的数字,只有2,3, 4,5可以选择,有4种选法; 第二步,选取百位上的数字,除0和千位 上已选定的数字外,还有4个数字可以选择, 有4种选法; 第三步,选取十位上的数字,有3种选 法。 由分步乘法计数原理知,这类数的个数 为4×4×3=48。 ②第二类是个位数字为2的比2 000大 的四位偶数,可以分三步完成: 第一步,选取千位上的数字,除去2,1, 0,只有3个数字可以选择,有3种选法; 第二步,选取百位上的数字,在去掉已经 确定的首尾2个数字之后,还有4个数字可 以选择,有4种选法; 第三步,选取十位上的数字,有3种选 法。 由分步乘法计数原理知,这类数的个数 为3×4×3=36。 ③第三类是个位数字为4的比2 000大 的四位偶数,其方法步骤同第二类,有36个 数。 对以上三类用分类加法计数原理,得所 求无重复数字且比2 000大的四位偶数有 48+36+36=120(个)。 点评:解此类问题的步骤:(1)弄清完成 这件事需要做什么;(2)确定是先分类后分 步,还是先分步后分类;(3)弄清分步、分类的 标准;(4)利用两个计数原理求解。 题型二、涂色问题 图1 例 2 如图1所示, 将四棱锥S-ABCD 的每一 个顶点染上一种颜色,并 且同一条棱上的两个端点 异色,如果只有5种颜色 可供使用,那么不同染色 方法的种数为 。 解析:(方法一)按所用颜色种数分类。 第一类,5种颜色全用,共有 A55 种不同 的方法; 第二类,只用4种颜色,则必须某两个顶 点同色(A 与C,或Β 与D),共有2×A45 种不 同的方法; 第三类,只用3种颜色,则A 与C,Β 与 D 必定同色,共有A35 种不同的方法。 由分类加法计数原理得,不同的染色方 法种数为A55+2×A45+A35=420。 (方法二)以S,A,B,C,D 顺序分步染 色。第一步,S 点染色,有5种方法。 第二步,A 点染色,与S 在同一条棱上, 有4种方法。 第三步,Β 点染色,与S,A 分别在同一 条棱上,有3种方法。 第四步,C 点染色,也有3种方法,但考 虑到D 点与S,A,C 相邻,需要针对A 与C 是否同色进行分类:当A 与C 同色时,D 点 有3种染色方法;当 A 与C 不同色时,因为 C 与S,Β 也不同色,所以C 点有2种染色方 法,D 点有2种染色方法。 由分步乘法、分类加法计数原理得,不同 的染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)= 420(种)。 点评:涂色问题常用的两种方法:(1)按 61 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月 区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘 法计数原理分析;(2)按颜色的不同,以颜色 为主分类讨论,用分类加法计数原理分析。 题型三、种植问题 例 3 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬 菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三 块土地上,其中黄瓜必须种植,则有 种不 同的种植方法。 解析:(方法一,直接法) 若黄瓜种在第 一块土地上,则有3×2=6(种)不同的种植 方法。 同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上, 均有3×2=6(种)不同的种植方法。 故不同的种植方法共有6×3=18(种)。 (方法二,间接法) 从4种蔬菜中选出3 种,种在三块土地上,有4×3×2=24(种)方 法,其中不种黄瓜有3×2×1=6(种)方法。 故共有24-6=18(种)不同的种植方法。 点评:种植问题常用的两种方法:(1)按 种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理 求解;(2)按种植品种恰当选取情况分类,用 分类加法计数原理求解。 题型四、住店问题 例 4 5名应届毕业生报考3所高校, 每人报且仅报1所高校,则不同报名方法的 种数是( )。 A.35 B.53 C.A23 D.C35 解析:每名应届毕业生只能报1所高校, 每所高校可由多名应届毕业生报考,所以“应 届毕业生”相当于“客”,“高校”相当于“房 间”,5人住3个房间,共有35 种不同的住法。 故选A。 点评:此类问题用“住店法”求解,解题时 需要确定所给的两类元素,哪一类是“客”(只 能有一个选择的元素为客),哪一类是“房间” (可以容纳多个元素的为房间)。 题型五、几何图形问题 例 5 如果一条直线与一个平面垂直, 那么称此直线与平面构成一个“正交线面 对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直 线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面 对”