3.提高解析几何数学运算能力的策略——以2023年高考全国乙卷理数第20题为例-《中学生数理化》高二数学2024年3月刊

提高解析几何数学运算能力的策略 ——以2023年高考全国乙卷理数第20题为例 ■河南省郑州市第一〇一中学 冯连福 解析几何数学运算能力是指在明晰运算 对象(直线、圆、圆锥曲线等)的基础上,依据运 算法则解决数学问题的能力。同学们在解析 几何数学运算中存在的诸多问题,要通过数学 运算专项训练,培养良好的数学运算习惯,增 强数学运算的信心,提高数学运算的正确率, 达到“敢计算”“愿计算”“会计算”的效果。下 面以2023年高考全国乙卷理数第20题为例, 说明提高解析几何数学运算能力的策略。 题目:已知椭圆C:y 2 a2 + x2 b2 =1(a>b> 0)的离心率为 5 3 ,点A(-2,0)在椭圆C 上。 (1)求椭圆C 的标准方程; (2)过点(-2,3)的直线交椭圆C 于P, Q 两点,直线AP,AQ 与y 轴的交点分别为 M,N,证明:线段 MN 的中点为定点。 解析:(1)由题意得b=2, c a= 5 3 。又a2 =b2+c2,解得a=3,b=2。 椭圆C 的标准方程为y 2 9+ x2 4=1 。 (2)求解定点问题的常用方法是先猜后 证。若直线 PQ 的斜率趋于零,则点 M、N 趋于点(0,3),故 MN 中点过定点(0,3),下 面证明这个结论。 策略一 点斜式正设。先用点斜式设出 直线PQ,再将直线方程与椭圆方程联立。 设直线PQ 的方程为y=k(x+2)+3, 即y=kx+2k+3,设P(x1,y1),Q(x2,y2), M(0,yM),N(0,yN)。 联 立 y=kx+2k+3, 9x2+4y2-36=0, 得 (9 + 4k2)x2+(16k2+24k)x+(16k2+48k)=0。 因此,x1+x2=- 16k2+24k 4k2+9 ,x1x2= 16k2+48k 9+4k2 。 易知直线AP 的方程为y= y1 x1+2 (x+ 2),令x=0,则 M 0, 2y1 x1+2 。 同理可得,N 0, 2y2 x2+2 。 设 MN 的中点为 0, yM+yN 2 。 所以 yM+yN 2 = y1 x1+2 + y2 x2+2 = (kx1+2k+3)(x2+2)+(kx2+2k+3)(x1+2) (x1+2)(x2+2) = 2kx1x2+(4k+3)(x1+x2)+8k+12 x1x2+2(x1+x2)+4 =3。 MN 的中点是定点(0,3)。 策略二 点斜式反设。先用点斜式反设 直线PQ,再将直线方程与椭圆方程联立,此 策略计算量较策略一少一些。 设直线PQ 的方程为x+2=k(y-3), P(x1,y1),Q(x2,y2),M(0,yM),N(0,yN)。 联立 x+2=k(y-3), y2 9+ x2 4=1 , 得(9k2+4)y2- 18(3k+2)ky+81k2+108k=0。 因此,y1+y2= 18k(3k+2) 9k2+4 ,y1·y2= 81k2+108k 9k2+4 。 因为直线AP 的方程为y= y1 x1+2 (x+ 2),所以yM= 2y1 x1+2 。 同理,yN= 2y2 x2+2 。 故 yM+yN 2 = y1 x1+2 + y2 x2+2 = y1 k(y1-3) + y2 k(y2-3) = 1 k · y1 y1-3 + y2 y2-3 7 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年3月 = 1 k · 2y1y2-3 (y1+y2) y1y2-3(y1+y2)+9 = 1 k · 54 ·(3k2+4k)-3·18k·(3k+2) 27(3k2+4k)-3·18k·(3k+2)+9(9k2+4) = 1 k ·108k 36 =3 。 故 MN 的中点是定点(0,3)。 策略三 斜截式正设。先用斜截式设出 直线PQ,再将直线方程与椭圆方程联立,利 用韦达定理写出表达式,最后代入m=2k+3 化简。此策略数学运算量较前两种少。 设直线 PQ 的方程为y=kx+m,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(0,yM),N(0,yN)。 因为PQ 过(-2,3),所以m=2k+3。 联 立 y=kx+m, 4y2+9x2-36=0, 得 (4k2 + 9)x2+8kmx+4m2-36=0。 故x1+x2=- 8km 4k2+9 ,x1x2= 4m2-36 4k2+9 。 则 yM+yN 2 = y1 x1+2 + y2 x2+2 = 2kx1x2+(2k+m)(x1+x2)+4m x1x2+2(x1+x2)+4 。 (思路一)直接代入韦达定理 因此,yM+yN 2 = 2kx1x2+(2k+m)(x1+x2)+8k+12 x1x2+2(x1+x2)+4 = 2k(4m2-36)+(2k+m)(