2.2023年高考之计数原理考点解读-《中学生数理化》高二数学2024年3月刊

■许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 计数问题是重要的数学问题,通过对计 数基本原理、排列与组合、二项式定理及其应 用的学习,我们能够了解计数与现实生活的 联系,能够初步解决简单的计数问题。两个 计数原理是人们在大量实践经验的基础上归 纳出来的基本规律,也是进一步研究排列、组 合问题的基础。排列、组合与两个计数原理 的综合是高考命题的热点,试题难度较小,多 以选择、填空题形式出现,考查同学们的逻辑 推理、数学运算等数学素养。排列与组合常 与概率、离散型随机变量的分布列等知识综 合,多在解答题中综合命题,考查同学们的逻 辑推理、数学抽象等数学素养。二项式定理 也是高考命题热点之一,多出现在选择、填空 题中,难度中等,主要考查二项展开式中的特 定项、二项式系数的性质、二项式定理的应用 等,也考查同学们的逻辑推理、数学运算等数 学素养。 下面我们结合2023年高考真题,对计数 原理高考考点进行解读。 考点1 对计数原理综合应用的考查 例 1 (1)【2023年全国甲卷理数第9 题】现有5名志愿者报名参加公益活动,在某 一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人 中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这 两天都参加的不同安排方式共有( )种。 A.120 B.60 C.30 D.20 (2)【2023年全国乙卷理数第7题】甲、 乙两位同学从6种课外读物中各自选读2 种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相 同的选法共有( )。 A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 (3)【2023年全国新课标Ⅰ卷第13题】 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术 类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3 门,并且每类选修课至少选修1门,则不同的 选课方案共有 种(用数字作答)。 命题意图:本题主要考查两个基本计数 原理与排列、组合知识的综合,考查同学们逻 辑推理及数学运算等数学素养。 解题思路:(1)利用分类加法原理,分类 讨论5名志愿者连续参加两天公益活动的情 况,可求解。(2)首先选相同的读物有6种情 况,然后在剩余的读物中再选择2种读物进 行排列,最后根据分步计数原理进行解答。 (3)先分类讨论选修2门或3门课,当选修3 门时,再讨论具体选修课的分配方法,结合组 合数运算进行解答。 解析:(1)不妨记5名志愿者为a,b,c, d,e,假设a连续参加了两天公益活动,从剩 余的4人中抽取2人分别参加星期六与星期 日的公益活动,共有A24=12(种)方法。同理 b,c,d,e连续参加了两天公益活动,也各有 12种方法。所以恰有1人连续参加了两天 公益活动的选择种数为5×12=60。选B。 (2)首先确定相同的读物,共有C16 种情 况,然后两人各自选另外一种读物,相当于在 剩余的5种读物中选出2种进行排列,共有 A25 种方法。根据分步乘法原理知共有C16· A25=120(种)选法。选C。 (3) (ⅰ)当从8门课中选修2门,则不 同的选课方案共有C14C14=16(种)。 (ⅱ)当从8门课中选修3门,①若体育 类选修课有1门,则不同的选课方案共有 C14C24=24(种); ②若体育类选修课有2门,则不同的选 课方案共有C24C14=24(种)。 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年3月 综上,不同的选课方案共有16+24+24 =64(种)。 考点解读:运用两个计数原理解题的关 键在于正确区分“分类”与“分步”,分类就是 能“一步到位”———任何一类中任何一种方法 都能完成整个事件,分类的关键在于要做到 “不重不漏”;而分步则只能“局部到位”——— 任何一步中任一种方法只能完成事件的某一 部分,分步的关键在于要正确设计分步的程 序,即合理分类,准确分步。 考点2 对排列组合的考查 例 2 【2023年全国新课标Ⅱ卷第3题】 某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比 例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从 初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知 该校初中部和高中部分别有400名学生和200 名学生,则不同的抽样结果共有( )。 A.C45400·C15200 种 B.C20400·C40200 种 C.C30400·C30200 种 D.C40400·C20200 种 命题意图:本题是考查抽样方法及组合 的知识,考查同学们的逻辑推理及数学运算 等数学素养。 解题思路:利用分层抽样的原理和组合 数公式进行解答。 解析:根据分层抽样的定义知初中部共 抽取60× 400 600=40 (人),高中部共抽取60× 200 600=20 (人)。 根据组合公式和分步计数原理,可得不 同的抽样结果共有C40400·C20200 种。 选D。 考点解读:排列、组