21.复数常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■华 伟1 张文伟2 题型一:复数的概念 复数a+bi(a,b∈R)中,实数a 和b分 别叫作复数的实部和虚部。特别注意,b 为 复数的虚部而不是虚部的系数。 例1 下列命题:①若a∈R,则(a+1)i 是纯虚数;②若a,b∈R,且a>b,则a+i> b+i;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚 数,则实数x=±2;④实数集是复数集的真 子集。 其中正确的是( )。 A.① B.② C.③ D.④ 解:对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0 且b≠0时,为纯虚数。若a=-1,则(a+1)i 不是纯虚数,①错误。两个虚数不能比较大 小,②错误。若x=-2,则x2-4=0,x2+ 3x+2=0,此时(x2-4)+(x2+3x+2)i=0, 不是纯虚数,③错误。④正确。应选D。 跟踪训练1:(多选题)对于复数a+bi (a,b∈R),下列说法不正确的是( )。 A.若a=0,则a+bi为纯虚数 B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b= -2 C.若b=0,则a+bi为实数 D.i的平方等于1 提示:对于A,当a=0时,a+bi也可能 为实数。对于B,若a+(b-1)i=3-2i,则 a=3,b=-1。对于D,i的平方为-1。应选 ABD。 题型二:复数的分类 解决复数分类问题的方法与步骤:化标 准式,观察复数是否为a+bi(a,b∈R)的形 式,以确定实部和虚部;定条件,复数的分类 可转化为复数的实部与虚部应满足的条件, 只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部 满足的方程(不等式)即可;下结论,对于复数 z=a+bi(a,b∈R),z为实数⇔b=0,z为虚 数⇔b≠0,z为纯虚数⇔a=0且b≠0。 例2 当 m 为 何 实 数 时,复 数 z= m2-m-6 m+3 + (m2-2m-15)i,是虚数? 是纯 虚数? 解:当 m+3≠0, m2-2m-15≠0, 即 m ≠5 且 m≠-3时,z是虚数。 当 m2-m-6 m+3 =0 , m2-2m-15≠0, 即 m=3或 m= -2时,z是纯虚数。 跟踪训练2:若复数(a2-3a+2)+(a- 1)i是纯虚数,则实数a的值为( )。 A.1 B.2 C.1或2 D.-1 提 示:根 据 复 数 的 分 类 知,需 满 足 a2-3a+2=0, a-1≠0, 解 得 a=1或a=2 , a≠1, 所 以 a=2。应选B。 题型三:复数相等的充要条件 复数相等的充要条件是实部与实部相 等,虚部与虚部相等;若两个复数都是实数, 则可以比较大小,否则是不能比较大小的。 例3 若关于x 的方程3x2- a 2x-1= (10-x-2x2)i有实根,求实数a的值。 解:设方程的实根为x=m,则原方程可变 为3m2- a 2m-1= (10-m-2m2)i,所以 3m2- a 2m-1=0 , 10-m-2m2=0, 解得a=11或a=-715。 跟踪训练3:复数z1=(2m+7)+(m2- 2)i,z2=(m2-8)+(4m+3)i,m∈R,若 z1=z2,则m= 。 提示:因为m∈R,z1=z2,所以(2m+7) +(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i。由复数相 54 经典题突破方法 高一数学 2024年3月 等的充要条件得 2m+7=m2-8, m2-2=4m+3, 解得m=5。 题型四:复数与复平面内的点的关系 复数的几何表示法,即复数z=a+bi (a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表 示,复数与复平面内的点是一一对应关系。 例4 已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其 中a∈R。当复数z在复平面内对应的点Z 满 足下列条件时,求a的值(或取值范围)。 (1)在实轴上。(2)在第三象限。 解:(1)若z 对应的点Z 在实轴上,则 2a-1=0,解得a= 1 2 。 (2)若z 对应的点Z 在第三象限,则 a2-1<0, 2a-1<0, 解得-1<a<12,即a 的取值范 围是 -1, 1 2 。 跟踪训练4:在复平面内,若复数z= (m2-m-2)+(m2-3m+2)i(m∈R)的对 应点在虚轴上和实轴的负半轴上,分别求复 数z。 提示:若复数z 的对应点在虚轴上,则 m2-m-2=0,所以 m=-1或 m=2,所以 z=6i或z=0。 若复数z的对应点在实轴的负半轴上,则 m2-m-2<0, m2-3m+2=0, 解得m=1,所以z=-2。 题型五:复数与复平面内的向量的关系 当平面向量的起点在原点时,向量的终 点对应的复数即为向量对应的复数,反之复 数对应的点确定后,从原点引出的指向该点 的有向线段,即为复数对应的向量。解决复 数与平面向量一一对应问题时,