20.平面向量及其应用常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■李 勇 题型一:平面向量在几何中的应用 用向量方法解决平面几何问题的步骤: 平面几何问题 设向量 →向量问题 计算 →解决向量 问题 还原 →解决平面几何问题。 例1 如图1,在△ABC 中,cos∠BAC = 1 4 ,点D 在线段BC 上,且BD=3DC,AD = 15 2 ,则△ABC 的面积的最大值为 。 图1 解:设△ABC 的内角A,B,C 所对的边 分别为a,b,c。因为BD=3DC,所以AD→= 1 4AB →+34AC →。又AD= 152 ,cos∠BAC= 1 4 ,所以 AD→ 2 = 14AB →+34AC → 2 = 1 16c 2+ 9 16b 2+ 3 8bccos∠BAC= 1 16c 2+ 9 16b 2+ 3 32bc , 所以 15 4= 1 16c 2+ 9 16b 2+ 3 32bc= 1 4c 2 + 3 4b 2 + 3 32bc≥2× 1 4c× 3 4b+ 3 32bc= 15 32bc , 当且仅当c=3b时等号成立,所以bc≤8。 因为sin∠BAC= 15 4 ,所以 S△ABC= 1 2bcsin∠BAC≤ 1 2×8× 15 4 = 15 。 跟 踪 训 练 1:在 △ABC 中,已 知 AB→ |AB→| + AC→ |AC→| ·BC→=0,且 AB → |AB→| · AC → |AC→| = 1 2 ,则△ABC 为( )。 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.三边均不相等的三角形 提示:易知 AB → |AB→| ,AC → |AC→| 分别表示 AB→, AC→ 方 向 上 的 单 位 向 量,AB → |AB→| + AC→ |AC→| 在 ∠BAC 的平分线上。结合 AB→ |AB→| + AC→ |AC→| · BC→=0,可 得|AB→|=|AC→|。又 AB → |AB→| · AC→ |AC→| = 1 2 ,所以cos<AB→,AC→>= AB → |AB→| · AC→ |AC→| = 1 2 ,可得AB→ 与AC→ 的夹角为60°,即 ∠BAC=60°,所以△ABC 是等边三角形。 应选A。 题型二:利用正弦定理、余弦定理解三 角形 解三角形时,如果式子中含有角的余弦 或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子 中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正 弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个 定理都有可能用到。 例2 (多选题)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若c= 3 2b=3 ,B= 2C,则下列结论正确的是( )。 A.sinC= 6 3 B.a= c 3 C.a=c D.S△ABC=22 解:因为B=2C,所以sinB=sin2C,即 14 经典题突破方法 高一数学 2024年3月 sinB=2sinCcosC。由c= 3 2b=3 ,结合正 弦定理得sinC= 3 2sinB ,所以sinB=2× 3 2sinBcosC 。因为B∈(0,π),所以sinB≠ 0,则cosC= 3 3 ,所以sinC= 6 3 ,A 正确。 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,所以 a2-4a+3=0,解得a=3或a=1。若a= 3,则a=c=3,A=C= 1 2B= π 4 ,与sinC= 6 3 矛盾(舍去),所以a=1,即a= c 3 ,B正 确,C不正确。S△ABC= 1 2absinC= 1 2×1× 23× 6 3= 2 ,D不正确。应选AB。 跟踪训练2:记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B) =sinBsin(C-A)。 (1)证明:2a2=b2+c2。 (2)若a=5,cosA= 25 31 ,求△ABC的周长。 提示:(1)因 为 A+B+C=π,所 以 sinCsin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)= sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(1-sin2B) -(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B。同理得 sinBsin(C-A)=sin(C+A)sin(C-A)= sin2C-sin2A。又 sinCsin(A -B)= sinBsin(C-A),所以sin2A-sin2B=sin2C -sin2A,即2sin2A=sin2B+sin2C。结合正 弦定理得2a2=b2+c2。 (2)由(1)及a2=b2+c2-2bccosA 得 a2=2bccosA,所以2bc=31。因为b2+c2= 2a2=50,所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81,可 得b+c=9,所以△ABC 的周长l=a+b+ c=14。 题型三: