19.2023年高考复数热点问题聚焦-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■王玉娟 数系的扩充与复数的引入在高考中以小 题的形式进行考查,试题具有活而不难的特 点,且常考常新,主要考查同学们灵活处理问 题的能力。在复数的学习中,要狠抓基础知 识,要注意复数问题实数化和方程思想的挖 掘与应用。 聚焦一:复数的四则运算 例1 (1)(2023年高考全国卷)设z= 2+i 1+i2+i5 ,则z=( )。 A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i (2)(2023年高考全国卷) 5(1+i3) (2+i)(2-i) =( )。 A.-1 B.1 C.1-i D.1+i 解:(1)因为i2=-1,i5=i,所以z= 2+i 1+i2+i5 = 2+i i =1-2i ,所以z=1+2i。应 选B。 (2) 5(1+i3) (2+i)(2-i)= 5(1-i) 5 =1-i 。应 选C。 体验:复数的加减法运算是合并同类项, 乘法运算是多项式的乘法,除法运算要注意 “分母实数化”的法则。 变式1:(1)(2023年高考天津卷)已知i 是虚数单位,化简5+14i 2+3i 的结果为 。 (2)若z=-1+ 3i,则 z zz-1= ( )。 A.-1+ 3i B.-1- 3i C.- 1 3+ 3 3i D.- 1 3- 3 3i 提示:(1) 5+14i 2+3i= (5+14i)(2-3i) (2+3i)(2-3i)= 52+13i 13 =4+i 。 (2)利用共轭复数的概念及复数的运算求 解。因为z=-1- 3i,zz=(-1+ 3i)· (-1- 3i)=4,所以 z zz-1= z 3=- 1 3+ 3 3i 。应选C。 聚焦二:复数的概念与运算 例2 (1)(2023年高考全国卷)若复数 (a+i)(1-ai)=2,则a=( )。 A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)(2023年高考全国卷)|2+i2+2i3|= ( )。 A.1 B.2 C.5 D.5 解:(1)利用复数相等的充要条件求解。 因为(a+i)(1-ai)=2,所以2a+(1-a2)i =2,所以 2a=2, 1-a2=0, 解得a=1。应选C。 (2)利用i的运算性质化为标准的代数 形式 求 模。|2+i2 +2i3|=|1-2i|= 12+(-2)2= 5。应选C。 体验:由实数扩充到复数后,实数系的有 些性质、运算法则对于复数系并不适用。研 究复数问题,一般将其设为z=a+bi(a,b∈ R)的形式,利用复数相等的充要条件,将复 数相等问题转化为实数问题求解。复数问题 实数化的转化过程中,需要明确概念,如z= a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z=a-bi(a, b∈R)。 变式2:(1)已知z=1-2i,且z+az+ b=0,其中a,b为实数,则( )。 A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 93 创新题追根溯源 高一数学 2024年3月 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 (2)若z=1+i,则|iz+3z|=( )。 A.45 B.42 C.25 D.22 提示:(1)因为z=1-2i,且z+az+b= 0,所以(1-2i)+a(1+2i)+b=(1+a+ b)+(-2+2a)i=0,所以 1+a+b=0, -2+2a=0, 解得 a=1,b=-2。应选A。 (2)因为z=1+i,所以iz+3z=i+i2+ 3(1-i)=i-1+3-3i=2-2i,所以|iz+3z| = 22+(-2)2=22。应选D。 聚焦三:复数运算与复数的几何意义 例3 (2023年新高考卷)在复平面内, (1+3i)(3-i)对应的点位于( )。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解:由(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+ 8i,可知(1+3i)(3-i)在复平面内对应点的 坐标为(6,8),此点位于第一象限。应选A。 体验:复数既可用代数形式表示,也可用 几何形式表示,这使复数的运算具有了几何 意义。求解复数问题时,常以形助数,数形结 合,使问题的解决更加直观形象。 变式3:(1)设复数z1,z2 满足|z1|= |z2|=2,z1+z2= 3+i,则|z1-z2|= 。 (2)设复数z 满足|z-i|=1,z 在复平 面内对应的点为(x,y),则( )。 A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 (3)设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|, x∈R},N = x x- 1 i < 2 ,i为虚数单 位,x∈R ,则 M∩N 为( )。 A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 提示:(