17.平面向量衍生三角形“四心”-18.一道向量综合题的多解分析-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■张秀跃 平面向量本身是一个几何概念,它具有 代数形式和几何形式两种表示方法,它是高 中数学的一个知识交汇点。在高考命题中, 以平面向量为载体,考查三角形的“四心”(外 心、内心、重心、垂心)的题型常考常新,这就 需要同学们在熟悉平面向量的代数运算的基 础上,理解平面向量的几何意义。 一、平面向量与三角形“外心”问题 三角形的外心是三角形的三边的垂直平 分线的交点(三角形外接圆的圆心),三角形 的外心到三角形各顶点的距离相等。 例1 已知点O 为△ABC 所在平面内 一点,且满足2AB→·AO→=|AB→| 2 ,2AC→· AO→=|AC→| 2 ,则点O 为该三角形的( )。 A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 分析:利用平面向量数量积和向量投影 的定义,确定点O 在边AB 的中垂线上,由此 判断点O 的性质特征。 解:由2AB→·AO→=|AB→| 2 ,可得2AB→· AO→=2|AB→||AO→|cos<AB→,AO→>=|AB→| 2 , 所以|AO→|cos<AB→,AO→>=12|AB →|,即向量 AO→ 在向量AB→ 方向上的投影为|AB→|的一 半,所以点O 在边AB 的中垂线上。同理可 得,点O 在边AC 的中垂线上,所以点O 为 三角形的外心。应选B。 三种常见的三角形外心 的向量式(O 是△ABC 的外 心):|OA→|=|OB→|=|OC→|⇔OA→ 2 =OB→ 2 = OC→ 2 ;(OA→+OB→)·AB→=(OB→+OC→)·BC→= (OA→+OC→)·AC→=0;动点 P 满足OP→= OB→+OC→ 2 +λ AB→ |AB→|cosB+|AC→|cosC , λ∈(0,+ ∞),则 动 点 P 的 轨 迹 一 定 过 △ABC 的外心。 二、平面向量与三角形“内心”问题 三角形的内心是三角形的三个内角的角 平分线的交点(三角形内切圆的圆心),三角 形的角平分线上的任意点到角的两边的距离 相等。 例2 已知点O 为△ABC 所在平面内 一点,且满足OA→· AC → |AC→| - AB→ |AB→| =OB→· BC→ |BC→| - BA→ |BA→| =0,则点O 为该三角形的 ( )。 A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 分析:利用单位向量,确定两向量的垂直 关系,得到点O 在∠BAC 的平分线上,通过 类比推理,即得点O 的性质特征。 解:向量 AC → |AC→| ,AB → |AB→| 分别表示边AC 和 AB 上的单位向量,可设为 AC'→和 AB'→,则 AC→ |AC→| - AB→ |AB→| =AC'→ -AB'→ =B'C'→。由 OA→· AC → |AC→| - AB→ |AB→| =OA→·B'C'→=0,即 OA→⊥B'C'→,可知点 O 在∠BAC 的平分线 上。同理,由 OB→· BC → |BC→| - BA→ |BA→| =0,可 知点O 在∠ABC 的平分线上,所以点O 为 该三角形的内心。应选A。 四种常见的三角形内心 的性质与向量式(P 是△ABC 的内心):三角形的内心到三边的距离相等, 都等于内切圆半径r;r= 2S a+b+c ,其中a,b, c分别是△ABC 的三边BC,AC,AB 的长,S 为△ABC 的面积,特别地,在Rt△ABC 中, ∠C=90°,r= a+b-c 2 ;|AB→|·PC→+|BC→|· PA→+|CA→|·PB→=0(或aPA→+bPB→+ 63 创新题追根溯源 高一数学 2024年3月 cPC→=0);AP→=λ AB → |AB→| + AC→ |AC→| ,λ∈(0, +∞),则点P 一定过三角形的内心。 三、平面向量与三角形“重心”问题 三角形的重心是三角形的三条中线的交 点,三角形的重心将中线长度分成2∶1。 例3 已知点O 为△ABC 所在平面内 一 点,若 动 点 P 满 足 OP→ = OA→ + λ AB→ |AB→|sinB + AC→ |AC→|sinC ,λ∈(0,+∞), 则动点P 的轨迹一定过△ABC 的( )。 A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 分析:利用 AP→ 和AB→+AC→ 共线,结合 中点的设置及向量关系式的变形,确定点P 在中线上,即得动点P 的轨迹特征。 解:由 正 弦 定 理 得|AB →| sinC = |AC→| sinB ,则 |AB→|sinB=|AC→|sinC。 由题设条件OP→=OA→+λ AB → |AB→|sinB + AC→ |AC→|sinC ,可 得 OP→ - OA→ = AP→ = λ |AB→|sinB