16.2023年高考解三角形问题聚焦-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■吴永芳 高考对正弦定理和余弦定理的考查主要 围绕“正弦、余弦定理和三角形面积公式的应 用,三角形中的三角变换”等展开,这类问题 的解法灵活,题型多变,主要考查对三角公式 的灵活运用能力、推理论证能力、数学应用意 识、数形结合思想的应用等。 聚焦1:三角形中的角平分线长问题 例1 (2023年高考全国卷)在△ABC 中,AB=2,∠BAC=60°,BC= 6,D 为BC 上一点,AD 为∠BAC 的平分线,则 AD= 。 解:(方法1)记AB=c,AC=b,BC=a, 由余弦定理得22+b2-2×2×b×cos60°= 6。由b>0,解得b=1+ 3。由 S△ABC = S△ABD+S△ACD,可得 1 2×2×b×sin60°= 1 2× 2×AD×sin30°+ 1 2×AD×b×sin30° ,解 得AD= 23b 2+b= 23(1+ 3) 3+ 3 =2。 (方法2)记 AB=c,AC=b,BC=a,由 余弦定理得22+b2-2×2×b×cos60°=6。 由b>0,解得b=1+ 3。由正弦定理得 6 sin60°= b sinB= 2 sinC ,结合b=1+ 3解得 sinB= 6+ 2 4 ,sinC= 2 2 。 因为1+ 3> 6>2,所以C=45°,所以 B=180°-60°-45°=75°。又∠BAD=30°, 所以∠ADB=75°,所以AD=AB=2。 体验:本题可以利用三角形的面积公式 求解,也可以利用角平分定义结合正弦、余弦 定理求解。方法1属于常规解法,方法2的 解法灵活,值得同学们学习。 变式1:(2023年高考全国卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是a,b,c,若 acosB-bcosA=c,且 C= π 5 ,则 B= ( )。 A. π 10 B. π 5 C. 3π 10 D. 2π 5 提示:结合正弦定理得sinAcosB- sinBcosA=sinC,即sinAcosB-sinB· cosA=sin(A+B)=sinAcosB+sinB· cosA,整理得sinBcosA=0。因为B∈(0, π),所以sinB>0,所以cosA=0,可得A= π 2 ,所以B=π-A-C= 3π 10 。应选C。 聚焦2:三角形中的边长问题 例2 (2023年新高考卷)在△ABC 中, △ABC 的面积S△ABC= 3,D 为BC 的中点, AD=1。 (1)若∠ADC= π 3 ,求tanB。 (2)若b2+c2=8,求b,c。 解:(1)因 为 D 为 BC 的 中 点,所 以 △ADC 的面积为 3 2 ,所以1 2×1×DC× 3 2= 3 2 ,所以DC=DB=2。在△ABD 中, 由 余 弦 定 理 得 c2 =12 +22 -2×1× 2 - 1 2 =7,所以c= 7。在△ABD 中,由 正弦定理得sinB= 21 14 。因为∠ADB= 2π 3 ,所以0<B< π 3 ,所以cosB= 57 14 ,所以 tanB= 3 5 。 (2)注意平角的特征,两次利用余弦定理 求解。因为BD=DC,所以b2+c2=8=12+ DC2 - 2DCcos∠ADC+ 12 + BD2 + 2DCcos∠ADC,所以DC2=3,即DC= 3。 因为 S△ADC = 1 2×1× 3sin∠ADC= 43 创新题追根溯源 高一数学 2024年3月 3 2 ,即sin∠ADC=1,所以∠ADC=∠ADB = π 2 ,所以b=c=2。 体验:余弦定理可以“知三边比值求角”, 也可以构造方程求边;正弦定理可以解决“知 三求一”和“知二求一”的问题。 变式2:记△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,已知 b2+c2-a2 cosA =2 。 (1)求bc。 (2)若 acosB-bcosA acosB+bcosA - b c =1 ,求 △ABC 的面积。 提示:(1)因为 b2+c2-a2 cosA = 2bccosA cosA = 2bc=2,所以bc=1。 (2)由 题 设 得 acosB-bcosA acosB+bcosA - b c = sinAcosB-sinBcosA sinAcosB+sinBcosA - sinB sinC =1 ,所 以 sin(A-B) sin(A+B)- sinB sinC= sin(A-B)-sinB sinC = 1,所以sin(A-B)-sinB=sinC=sin(A+ B),所以sinAcosB-sinBcosA-sinB= sinAcosB+sinBcosA,即cosA=- 1 2 。 由A 为三角形内角得A= 2π 3 ,所以△ABC 的面积S= 1 2bcsi