15.复数的热点题型解析-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■马春林 复数是高考的常考点,但不是同学们学 习的难点。高考中有关复数的考题都是基础 题,是基本概念与运算法则的应用。下面就 复数的热点题型进行举例分析,供同学们学 习与参考。 题型1:复数的有关概念 例1 下列命题中,正确命题的个数为 ( )。 ①两个复数相等的一个必要条件是它们 的实部相等;②两个复数不相等的一个充分 条件是它们的虚部不相等;③1-ai(a∈R)是 一个复数;④若复数z1,z2 满足z21+z22=0, 则z1=z2=0;⑤若x,y∈R,且x+yi=1+ i,则x=y=1;⑥“a=-2”是“复数z=(a2- 4)+(a+1)i(a,b∈R)为纯虚数”的必要不充 分条件;⑦若(m2-1)+(m2-2m)i>1,则实 数m 的值为2;⑧若复数z 满足z(1+i)2022 =2+i,则复数z 在复平面内对应的点位于 第三象限。 A.3 B.4 C.5 D.6 解:若两个复数相等,则它们的实部、虚 部均相等,①正确。若虚部不相等,则两个复 数一定不相等,②正确。满足形如a+bi(a, b∈R)的数均为复数,③正确。若复数z1=i, z2=1满足z21+z22=0,则z1≠z2≠0,④不正 确。由x,y∈R,且x+yi=1+i,根据复数 相等的性质得x=y=1,⑤正确。当a=-2 时,z=(22-4)+(-2+1)i=-i,是纯虚数; 当z为纯虚数时,a2-4=0,且a+1≠0,即 a=±2。由“a=2”可以推出“z 为纯虚数”, 反之不成立,即为充分不必要条件,⑥不正 确。由题意得 m2-2m=0, m2-1>1, 解得m=2,⑦正 确。因为(1+i)2022=[(1+i)2]1011=(2i)1011 =-21011i,所 以 z= 2+i -21011i = -1+2i 21011 = - 1 21011 + 1 21010 i,可知z 在复平面内对应的点 为 - 1 21011 ,1 21010 ,此点位于第二象限,⑧不 正确。应选C。 题型2:复数的几何意义 例2 (多选题)已知复数z1 对应的向量 为OZ1→,复数z2 对应的向量为OZ2→,则下列 说法正确的是( )。 A.若|OZ1→|=1,则z1=±1或z1=±i B.若z1=4+3i,z2=3+4i,则Z1Z2→= (1,-1) C.若|z1+z2|=|z1-z2|,则 OZ1→⊥ OZ2→ D.若(OZ1→+OZ2→)⊥(OZ1→-OZ2→),则 |z1|=|z2| 解:当z1= 1 2+ 3 2i 时,满足|OZ1→|=1, A错误。Z1Z2→=OZ2→-OZ1→=(3,4)-(4,3) =(-1,1),B错误。设z1=a+bi,z2=c+ di,a,b,c,d∈R,若|z1+z2|=|z1-z2|,则 (a+c)2+(b+d)2=(a-c)2+(b-d)2,化 简得ac+bd=0,所以 OZ1→·OZ2→=ac+ bd=0,所以OZ1→⊥OZ2→,C正确。设z1=a+ bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则OZ1→+OZ2→= (a+c,b+d),OZ1→-OZ2→=(a-c,b-d)。 由(OZ1→+OZ2→)⊥(OZ1→-OZ2→),可得(a+ 23 创新题追根溯源 高一数学 2024年3月 c)(a-c)+(b+d)(b-d)=a2+b2-c2- d2=0,所以a2+b2=c2+d2,即|z1|=|z2|, D正确。应选CD。 题型3:复数的四则运算 例3 设z1,z2 为复数,下列命题成立的 个数为( )。 ①如 果|z1|=a,a 是 正 实 数,那 么 z1z1=a2;②如果|z1|=|z2|,那么z1= ±z2;③如果|z1|≤a,a 是 正 实 数,那 么 -a≤z1≤a;④|z1·z2|=|z1·z2|; ⑤|z1·z2|=|z1|·|z2|;⑥|z2|2=z22; ⑦ 1 z1 = 1 |z1| 。 A.3 B.4 C.5 D.6 解:设z1=x1+y1i,其中x1,y1∈R,因 为|z1|= x21+y21=a,所以x21+y21=a2,所 以z1z1=(x1+y1i)(x1-y1i)=x21+y21,① 正确。如z1=1,z2=i,这时|z1|=|z2|=1, 但z1≠±z2,②错误。设z1=x1+y1i,因为 |z1|= x21+y21≤a,所以x21+y21≤a2,只有 实数才能比较大小,虚数不能比较大小,③错 误。设z1=a+bi,z2=c+di,则|z1·z2|= |(a+bi)(c-di)|=|ac+bd+(bc-ad)i| = (ac+bd)2+(bc-ad)2,|z1·z2|=|(a -bi)(c+di)|=|ac+