14.聚焦解三角形中的“误区警示”-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■肖 萌 下面聚焦解三角形中的误区,并给出剖 析和警示,希望对同学们的学习有所帮助。 误区1:三角形中忽视角的取值范围 例1 在△ABC 中,若 a2 b2 = tanA tanB ,则 △ABC 的形状一定是( )。 A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 错解:由正弦定理得sin 2A sin2B = tanA tanB ,所以 sin2A sin2B = sinA cosA ·cosB sinB 。因 为 在△ABC 中 sinA>0,sinB>0,所 以 sinAcosA = sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A= 2B,即A=B,故△ABC 是等腰三角形。应 选B。 剖析:由sin2A=sin2B,可得2A=2B,忽 视了三角形中角的取值范围为(0,π)和三角函 数的 性 质。由 正 弦 定 理 得sin 2A sin2B = sinA cosA · cosB sinB ,所 以 sinAcosA =sinBcosB,即 sin2A=sin2B。 所以2A=2kπ+2B(k∈Z)或2A= 2kπ+π-2B(k∈Z)。因为0<A<π,0< B<π,所以0<2A<2π,0<2B<2π。 由正弦函数在(0,2π)上的性质知,2A= 2B 或2A=π-2B,所以A=B 或A= π 2- B。故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 应选D。 警示:在△ABC 中,A,B,C∈(0,π),且 A+B+C=π,合理挖掘这些隐含条件,可以 避免出错。 误区2:忽视正弦定理变形式的应用 例2 在△ABC 中,A=60°,b=1,S△ABC = 3,求 a+b+c sinA+sinB+sinC 的值。 错解:因为A=60°,b=1,S△ABC= 3,又 S△ABC= 1 2bcsinA ,所以 3= 1 2csin60° ,解得 c = 4。 由 余 弦 定 理 得 a = b2+c2-2bccosA = 1+16-8cos60°= 13。由正弦定理得sinC= 6 39 ,sinB= 3 2 39 。 所 以 a+b+c sinA+sinB+sinC = 13+1+4 3 2+ 3 2 39 + 6 39 = 5+ 13 3 2+ 15 2 39 。 剖析:上述解法没有正确应用正弦定理 的变形式 a+b+c sinA+sinB+sinC=2R 。由A= 60°,b=1,S△ABC= 3,可得c=4,a= 13。 由正弦定理得2R= a sinA= 13 sin60°= 2 39 3 , 所以 a+b+c sinA+sinB+sinC=2R= 2 39 3 。 警示:在 △ABC 中, a sinA = b sinB = c sinC=2R ,揭示了边与边所对角的正弦值的 比值等于其三角形外接圆的直径。利用比例 性质可得其变形式为 a+b+c sinA+sinB+sinC= 2R。利用正弦定理及变形式,可实现边角互 化和简化求解三角形问题。 误区3:三角形 ABC 中忽视 A+B+ C=π的隐含条件 例3 在△ABC 中,已知sinA= 3 5 , cosB= 5 13 ,求cosC 的值。 错解:在△ABC 中,由cosB= 5 13 ,可得 03 易错题归类剖析 高一数学 2024年3月 sinB= 12 13 。因为sinA= 3 5 ,所以cosA=± 4 5 。 故cosC=cosπ-(A+B) =-cos(A+B)= -cosAcosB+sinAsinB= 16 65 或 56 65 。 剖析:上述错解忽视了“A+B+C=π” 这一隐含条件。利用同角关系求出cosA= ± 4 5 ,需结合A+B+C=π缩小角的范围。 在 △ABC 中,由 cosB = 5 13 ,可 得 sinB= 12 13 ,且B 为锐角。 因为 5 13< 1 2 ,所以π 3<B< π 2 。因为 sinA= 3 5 且 1 2< 3 5< 3 2 ,所以π 6<A< π 3 或 2π 3<A< 5π 6 。又 A+B+C=π,所以 π 6< A< π 3 ,所以cosA= 4 5 。 故cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A +B)=-cosAcosB+sinAsinB= 16 65 。 警示:三角形中的求角问题,应把握其隐 含条件(如内角之和为180°,大边对大角等) 和函数值对角的限制,要尽量缩小角的范围, 只有这样才能避免多解和漏解。 误区4:忽视题设条件中角的制约关系 例4 在△ABC 中,3sinA+4cosB= 6,3cosA +4sinB =1,则 角 C 的 大 小 为( )。 A. π 6 B. 5π