12.平面向量及其应用核心考点综合演练-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■王国平(特级教师) 一、选择题 1.设向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2, a·b=0,c·(a+b-c)=0,则|c|的最大值 等于( )。 A.1 B.2 C.1+ 5 2 D.5 2.(多选题)已知△ABC 满足sinA∶ sinB∶sinC=2∶3∶ 7,且△ABC 的面积 S△ABC= 33 2 ,则下列命题正确的是( )。 A.△ABC 的周长为5+ 7 B.△ABC 的三个内角A,B,C 满足关 系A+B=2C C.△ABC 的外接圆半径为 2 21 3 D.△ABC 的中线CD 的长为 19 2 3.(多选题)设△ABC 的内角A,B,C 所 对的边分别为a,b,c,3(acosC+ccosA)= 2bsinB,且∠CAB= π 3 ,若点D 是△ABC 外 一点,DC=1,DA=3,则下列结论正确的是 ( )。 A.△ABC 的内角B= π 3 B.△ABC 的内角C= π 3 C.△ACD 的面积为 33 4 D.四边形 ABCD 面积的最大值为 53 2 +3 4.(多选题)已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,下列四个说法中正 确的是( )。 A.若 a cosA= b cosB= c cosC ,则△ABC 一定是等边三角形 B.若acosA=bcosB,则△ABC 一定是 等腰三角形 C.若bcosC+ccosB=b,则△ABC 一 定是等腰三角形 D.若a2+b2-c2>0,则△ABC 一定是 锐角三角形 二、填空题 5.在△ABC 中,D 为AC 上一点,满足 AD→=13DC →,若P 为BD 上一点,满足AP→= λAB→+μAC→,λ,μ 为正实数,则λμ 的最大值 为 。 6.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分 别为a,b,c,且满足5a2+3b2=3c2,则tanA 的最大值为 。 7.在△ABC 中,a,b,c分别为三个内角 A,B,C 的对边,ccosB+(2a+b)cosC=0, 若△ABC 的外接圆的面积为π,则△ABC 周 长的最大值是 。 三、解答题 8.在①asinB=bsinA- π 3 ,②(a+b)· (sinA-sinB)=(b+c)sinC,③ 3b· sin B+C 2 =asinB 这三个条件中任选一个补 充在下面横线上,并解决问题。 问题:在△ABC 中,角 A,B,C 所对的 边分别为a,b,c,且满足 。 (1)求角A。 (2)若角A 的平分线AD 长为1,且b+ 22 核心考点演练 高一数学 2024年3月 c=6,求sinBsinC 的值。 9.在锐角△ABC 中,a,b,c分别为内角 A,B,C 的 对 边,且 sinAsinBsinC = 3 2 (sin2A+sin2B-sin2C)。 (1)求sinC。 (2)若c= 3,求△ABC 周长的取值范 围。 10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边 分别是a,b,c,且sin2A=sin2B+sin2C+ sinBsinC。 (1)求A 的大小。 (2)当a=1时,b+λc存在最大值,求正 数λ的取值范围。 11.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别 为a,b,c,已知asin A+C 2 =bsinA 。 (1)求B。 (2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求 △ABC 面积的取值范围。 一、选择题 1.提示:向量a,b,c满足|a|=1,|b|= 2,a·b=0,不妨设a=(1,0),b=(0,2),c= (x,y)。因为c·(a+b-c)=0,所以(x, y)·(1-x,2-y)=x(1-x)+y(2-y)= 0,整理得 x- 1 2 2 +(y-1)2= 5 4 ,所以|c| 表示圆心为 1 2 ,1 ,半径为 52的圆上的点到 原 点 的 距 离,所 以 |c| 的 最 大 值 为 1 2 2 +12+ 5 2= 5 。应选D。 2.提 示:因 为 △ABC 满 足 sinA ∶ sinB∶sinC=2∶3∶ 7,所以a∶b∶c= 2∶3∶ 7。设a=2t,b=3t,c= 7t,t>0, 由 余 弦 定 理 得 cosC = a2+b2-c2 2ab = 4t2+9t2-7t2 12t2 = 1 2 。因为 C∈(0,π),所以 C= π 3 。对 于 A,因 为 S△ABC = 33 2 ,所 以 1 2absinC= 1 2 ·2t·3t· 3 2 = 33 2 ,解得 t=1,所以a=2,b=3,c= 7,所以△ABC 的周长为5+ 7,A正确。对于B,因为C= π 3 ,所以A+B= 2π 3 ,所以A+B=2C,B正 确。对 于 C