11.数系的扩充与复数的引入题型赏析-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■姚章社 题型1:复数的有关概念 例1 (1)已知z 是纯虚数, z+2 1-i 是实 数,则z=( )。 A.2i B.i C.-i D.-2i (2)z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2= 2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a 的值 是 。 解:(1)设z=yi(y∈R,y≠0)。因为 yi+2 1-i= (yi+2)(1+i) (1-i)(1+i)= 2-y 2 + y+2 2 i∈R , 所以2+y=0,即y=-2,所以z=-2i。应 选D。 (2)由z1>z2,可得 2a2+3a=0, a2+a=0, -4a+1>2a, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=0或a=- 3 2 , a=0或a=-1, a< 1 6 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以a=0。 感悟:由实数扩充到复数后,实数系的有 些性质、运算法则对于复数系并不适用。解 答复数问题时,要依据复数的概念进行合理 转化,不能轻易地将实数系中的一些运算法 则或性质照搬到复数系内。形如a+bi(a, b∈R)的数叫复数,其中a,b 分别是它的实 部和虚部。若b=0,则a+bi为实数;若b≠ 0,则a+bi为虚数;若a=0且b≠0,则a+bi 为纯虚数。复数的概念必须从其定义出发, 不可想当然。 题型2:代数运算中的“分母实数化” 例2 (1)i是虚数单位,计算 1-2i 2+i 的结 果为 。 (2)已知 (1-i)2 z =1+i (i为虚数单位), 则复数z= 。 解:(1)利 用 分 母 实 数 化 切 入 求 解。 1-2i 2+i= -i2-2i 2+i = -i(i+2) 2+i =-i 。 (2)因为 (1-i)2 z =1+i ,所以z= (1-i)2 1+i = (-2i)(1-i) (1+i)(1-i)= 2(-1-i) 2 =-1-i 。 感悟:复数的加减法是合并同类项,乘法 就是多项式的乘法,将i2 换成-1。注意in 的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n= 1(n∈Z),in+in+1+in+2+in+3=0(n∈Z)。注 意几个复数的变式:(1±i)2=±2i, 1-i 1+i= -i, 1+i 1-i=i ,1 i=i -1=-i。 题型3:复数相等的充要条件的应用 例3 (1)z是z的共轭复数,若z+z= 2,(z-z)i=2(i为 虚 数 单 位),则 z= ( )。 A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i (2)若定义运算 a b c d =|ad-bc|,求 符合条件 z 1 1 1 等于复数z的实部的复数z 所对应点在复平面上的轨迹。 解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z= a-bi。因为z+z=2,所以2a=2,可得a= 1。又(z-z)i=2,所以2bi2=2,即2b=-2, 可得b=-1,所以z=1-i。 (2)设复数z=x+yi(x,y∈R)。结合 a b c d =|ad-bc|,可得 z 1 1 1 =|z-1| =x,所以 x-1 2+y2=x,化简得y2= 2x-1,即复数z 所对应点在复平面上的轨 迹为抛物线。 感悟:a+bi=c+di⇔a=c,b=d。利用 复数相等的充要条件探求实部和虚部的关 02 知识结构与拓展 高一数学 2024年3月 系,这是求复数轨迹方程的思维通法。 题型4:实系数一元二次方程根的研究 方法 例4 若z是实系数方程x2+2x+p= 0的一个虚根,且|z|=2,则p= 。 解:实系数一元二次方程的虚根共轭且 成对出现。设z=a+bi,则方程的另一个根 为z'=a-bi。由|z|=2,可得 a2+b2=2。 由韦达定理得z+z'=2a=-2,即a=-1。 易得b2=3,即b=± 3,所以z=-1± 3i, 则z'=-1∓ 3i。故p=z·z'=(-1+ 3i)(-1- 3i)=4。 感悟:对于复数集上的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)是否存在实数根,不 能用判别式判断,而是利用复数相等的充要 条件进行转化求解。在复数集 C 中,方程 ax2+bx+c=0(a,b,c∈R),当 Δ=b2- 4ac<0时的根为x= -b±i 4ac-b2 2a 。 题型5:复数与简易逻辑的交汇 例5 (1)设z1,z2∈C,则“z1,z2 中至少 有一 个 数 是 虚 数”是 “z1 -z2 是 虚 数” 的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 (2)原命题为“若z1,z2 互为共轭复数, 则|z1|=|z2|”,关于逆命题,否命题,逆否命 题真假性的判