9.复数常见考点全覆盖-10.求解复数的技法与思路之比较-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■刘长柏 复数是初等数学与高等数学的一个重要 衔接点,是历年高考的必考内容。将复数问 题化归为实数问题,即将复数问题实数化,是 解决复数问题的一种基本思想方法。 一、考查复数的基本概念 复数z=a+bi(a,b∈R)为实数、虚数、 纯虚数的充要条件是复数问题实数化的依 据,对基本概念的理解是实现复数问题实数 化的基础。 例1 已知复数z=m2-2m-15+(m2 -9)i,其中m∈R,i为虚数单位。 (1)若z为实数,求m 的值。 (2)若z为纯虚数,求 z 1+i 的虚部。 解:(1)若z 为实数,则m2-9=0,解得 m=±3。 (2)由 题 意 得 m2-2m-15=0, m2-9≠0, 解 得 m=5,所 以 z=16i,所 以 z 1+i= 16i 1+i= 16i(1-i) (1+i)(1-i)=8+8i ,可知 z 1+i 的虚部为8。 复数z=a+bi(a,b∈R), 当b=0时,z为实数;当b≠0 时,z为虚数;当a=0,b≠0时,z为纯虚数。 练习1:设i是虚数单位,已知复数z 满 足(1-i)z=1+(a-1)i(a∈R),且复数z是 纯虚数,则实数a=( )。 A.- 1 2 B. 1 2 C.1 D.2 提示:由(1-i)z=1+(a-1)i,可得z= 1+(a-1)i 1-i = [1+(a-1)i](1+i) (1-i)(1+i) = 1-(a-1)+[1+(a-1)]i 2 = 2-a 2 + a 2i 。因 为z为纯虚数,所以a=2。应选D。 二、考查复数的相等 复数相等的充要条件是复数问题实数化 的重要途径之一。要明确由一个复数等式可 得到两个实数等式这一性质,这也是高考的 常考点。 例2 若复数z 是方程x2-2x+2=0 的一个根,则i·z的虚部为( )。 A.2 B.2i C.i D.1 解:设z=a+bi(a,b∈R)。 依题意得(a+bi)2-2(a+bi)+2=0,即 (a2-b2-2a+2)+2(ab-b)i=0,所以 a2-b2-2a+2=0, 2(ab-b)=0, 显 然 b ≠ 0,解 得 a=1, b=±1, 所以z=1-i或z=1+i。因为i· z=i(1-i)=1+i或i·z=i(1+i)=-1+i, 所以i·z的虚部为1。应选D。 两个复数相等的充要条 件是它们的实部和虚部分别 相等。 练习2:若a,b均为实数,且 a+bi 1-i=2+ i3,则ab=( )。 A.-2 B.2 C.-3 D.3 提示:因为a+bi 1-i=2+i 3=2-i,所以a+ bi=(1-i)(2-i)=1-3i,所以a=1,b= -3,可得ab=-3。应选C。 三、考查复数的有关性质 复数a+bi(a,b∈R)的模为 a2+b2, 共轭复数为a-bi,实系数一元二次方程的虚 根成对出现。模与共轭复数的性质:若z+ z∈R,则|z|=|z|; z1 z2 = |z1| |z2| 。 例3 若复数z 满足(1+3i)z=2+4i, 其中i是虚数单位,复数z 的共轭复数为z, 71 知识结构与拓展 高一数学 2024年3月 则|z|=( )。 A. 25 8 B. 52 4 C.2 D.2 解:因为(1+3i)z=2+4i,所以z= 2+4i 1+3i= (2+4i)(1-3i) (1+3i)(1-3i)= 7 5- 1 5i ,所以复数 z的共轭复数为z= 7 5+ 1 5i ,所以|z|= 7 5 2 + 15 2 = 2。应选C。 若复数z=a+bi(a,b∈ R),则|z|= a2+b2。 练习3:已知复数z=-3+2i(i为虚数 单位)是关于x 的方程2x2+px+q=0(p,q 为实数)的一个根,则p+q的值为( )。 A.22 B.36 C.38 D.42 提示:将 复 数 z=-3+2i代 入 方 程 2x2+px+q=0,可得2(-3+2i)2+p(-3 +2i)+q=0,即10-3p+q+(2p-24)i= 0,所 以 10-3p+q=0, 2p-24=0, 解 得 p=12 , q=26。 所 以 p+q=38。应选C。 四、考查复数的几何意义 复数有着鲜明的几何背景和浓厚的几何 意义,复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的 点Z(a,b)及平面向量OZ→ 是一一对应的关 系。在处理复数问题时,灵活运用复数的几 何意义,可使问题直观、迅速地获得解决。 例4 在复平面内,复数z1,z2 对应的向 量分别是OA→=(1,-2),OB→=(-3,1),则 复数z1z2 对应的点位于( )。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解:因为复数z1,z