7.核心素养下的平面向量及其应用-8.“余角三角形”及其应用-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■杨成武 平面向量的应用主要集中在解三角形问 题,学好这部分内容,不但能有效解决平面向 量中的几何问题,还能解决其他综合性问题。 类型一:利用平面向量解决参数问题 例1 如图1,在△ABC 中,已知CA=2, CB=3,∠ACB=60°,CH 为AB 边上的高。 图1 (1)求AB→·BC→。 (2)设CH→=mCB→+nCA→,其中 m,n∈ R,求m,n的值。 解:(1)设CB→=a,CA→=b。 因为AB→=CB→-CA→=a-b,所以AB→· BC→= a-b · -a =-a2+a·b=-9+ 3×2×cos60°=-6。 (2)由 A,H,B 三点共线,可设 AH→= λAB→=λ(a-b),所以CH→=CA→+AH→=b+ λ(a-b)=λa+(1-λ)b。 因为CH→⊥AB→,所以CH→·AB→=0,所 以[λa+(1-λ)b]·(a-b)=0,即λa2- (1-λ)b2+(1-2λ)a·b=0。 由a2=9,b2=4,a·b=3,代入上式解 得λ= 1 7 ,所以CH→=17a+ 6 7b ,所以 m= 1 7 ,n= 6 7 。 评析:CB→=a,CA→=b 作为一组基底,表 示相关向量,结合向量的数量积运算即得结 果;由A,H,B 三点共线,设 AH→=λAB→= λ(a-b),可得CH→=λa+(1-λ)b,由CH→· AB→=0,得到λ=17,进而得解。本题主要考 查数学建模与数学运算的核心素养。 类型二:利用平面向量解决最值问题 例2 已知点 P 是圆 M:(x-2)2+ (y-2)2=2上的动点,线段 AB 是圆C: (x+1)2+(y+1)2=4的一条动弦,且|AB| =23,则|PA→+PB→|的最大值是( )。 A.32 B.82 C.52 D.82+2 解:圆 M:(x-2)2+(y-2)2=2的圆心 为 M(2,2),半径为 2,圆C:(x+1)2+(y+ 1)2=4的圆心为C(-1,-1),半径为2。 如图2,过圆心C 作CD⊥AB,垂足为 D,所以D 为AB 中点。连接CB。 图2 易得|BD|= 3。因为|CB|=2,所以 |CD|= |CB2-|BD|2= 4-3=1,所以 点D 的轨迹是以C 为圆心,1为半径的圆,所 以点D 的轨迹方程为(x+1)2+(y+1)2= 1。因为 D 是 AB 中点,所以 PA→+PB→= 2PD→,所 以|PD→|max=|CM|+ 2+1= (-1-2)2+(-1-2)2+ 2+1=4 2+ 1,所以|PA→+PB→|的最大值为2(42+1)= 82+2。应选D。 评析:解答本题的关键是先得到点D 的 轨迹方程为(x+1)2+(y+1)2=1,再由圆与 圆的位置关系求出|PD→|max。本题主要考查 数学抽象、数学建模与数学运算的核心素养。 作者单位:山东省滨州市邹平市第一中学 (责任编辑 郭正华) 41 知识结构与拓展 高一数学 2024年3月 ■葛金波 在解三角形问题中,经常会在题设中遇 到“sinA=cosB”或“sinA=-cosB”的关系 式,不妨把这种特殊的三角形称为“余角三角 形”。下面利用“余角三角形”及其对应的结 论,并结合实例剖析其应用。 一、结论及证明 结论1:在△ABC 中,角A,B,C 为其三 个内角,若sinA=cosB,则 A=B+ π 2 或 A+B= π 2 。 证明:由sinA=cosB,结合诱导公式得 sinA=sinB+ π 2 ,所以A=B+π2或A+ B+ π 2 =π,所以A=B+π2或A+B=π2。 结论2:在△ABC 中,角A,B,C 为其三 个内角,若sinA=-cosB,则B-A= π 2 。 证明:由sinA=-cosB,结合诱导公式 得sinA=sinB- π 2 ,所以 A=B-π2,解 得B-A= π 2 。 二、结论的应用 借助“余 角 三 角 形”的 条 件“sinA= cosB”或“sinA=-cosB”,可以准确判定A 与B 之间的对应关系,并结合题设中的其他 条件,可以快速解决一些三角形的应用问题。 1.内角的求值问题 例1 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若sinA=sinB= -cosC,则角C 的值为( )。 A. π 3 B. π 6 C. 4π 3 D. 2π 3 分析:根据题设条件,先确定三个内角的 取值范围,利用结论2得到A 与C 之间的关 系,再利用三角形的内角和定理求解。 由sinA=sinB=-cosC, 可 知 A,B ∈ 0, π 2 ,C ∈ π 2 ,π ,且A=B。 结合结论2得C-A= π 2 ,即C=A+ π 2 。由三