6.依托平面向量，三点共线妙用-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■马晓丹 结合平面向量基本定理及其应用,得到 三点共线的结论:已知平面内一组不共线的 基底向量PA→,PB→ 及任意向量PC→,若PC→= λPA→+μPB→(λ,μ∈R),则A,B,C 三点共线 的充要条件是λ+μ=1。利用平面向量中的 三点共线的结论,可以巧妙地解决一些平面 向量的综合问题。 一、向量的线性表示 例1 在△ABC 中,点 D 在边AB 上, 且满足BD=2DA。记CB→=m,CD→=n,则 CA→=( )。 A. 1 2m+ 3 2n B.- 1 2m+ 3 2n C. 3 2m+ 1 2n D.- 3 2m+ 1 2n 分析:利用线段之间的长度关系,结合三 点共线的结论,构建向量的线性关系,即得向 量的线性表示。 解:由点 D 在边AB 上,且满足 BD= 2DA,可知 B,D,A 三点共线,所以 CD→= 1 3CB →+23CA →,所以CA→=-12CB →+32CD →= - 1 2m+ 3 2n 。应选B。 利用平面向量中的三点 共线的结论,要注意线段中的 比例关系和参数之间的表示与应用。 二、参数值的确定 例2 若点 M 是△ABC 所在平面内一 点,且满足 AM→=34AB →+14AC →,则△ABM 与△ABC 的面积之比为 ;若N 为AB 的 中点,AM 与CN 交于点O,设BO→=xBM→+ yBN→,则x+y= 。 分析:利用向量的线性表示,确定 M,B, C 三点共线,通过向量的线性运算,确定线段 的比例关系,可得三角形的面积的比;利用平 面向量的线性关系,结合三点共线的结论构 建方程组,确定相应的参数值。 解:因为 AM→=34AB →+14AC →,又3 4+ 1 4=1 ,所以 M,B,C 三点共线。 令BM→=λBC→(λ∈R),则 AM→=AB→+ BM→=AB→+λBC→=AB→+λ(AC→-AB→)=(1- λ)AB→+λAC→,所以λ=14,所以点 M 为BC 上的一个四等分点,所以 S△ABM ∶S△ABC = BM∶BC= 1 4 。 因为 BO→=xBM→+yBN→,所以 BO→= xBM→+y2BA → 且BO→=x4BC →+yBN→。又O, M,A 三点共线及O,N,C 三点共线,所以 x+y2=1 , x 4+y=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x= 4 7 , y= 6 7 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以x+y= 10 7 。 利用平面向量中的三点 共线的性质,可直接判断三点 共线,也可借助三点共线构建对应的方程组。 解决这类问题,利用平面几何图形的直观性 可帮助求解。 三、性质特征的判断 例3 (多选题)如图1,B 是AC 的中 点,BE→=2OB→,P 是平行四边形BCDE 内 (含边界)的一点,且OP→=xOA→+yOB→(x, y∈R),则下列结论正确的是( )。 图1 21 知识结构与拓展 高一数学 2024年3月 A.当x=0时,y∈[2,3] B.当P 是线段CE 的中点时,x=- 1 2 , y= 5 2 C.若x+y 为定值1,则在平面直角坐标 系中,点P 的轨迹是一条线段 D.当P 在点C 处时,x=1,y=2 分析:结合四个选项,利用平面向量中三 点共线的结论,分析与判断对应选项的真假 情况。 解:对于A,当x=0时,OP→=yOB→,可知 点P 在线段BE 上,所以1≤y≤3,A错误。 对于B,当 P 是线段CE 的中点时,OP→= OE→+EP→=3OB→+12(EB →+BC→)=3OB→+ 1 2 (-2OB→+AB→)=3OB→+ 12 (-2OB →+ OB→-OA→)=-12OA →+52OB →,可 得 x= - 1 2 ,y= 5 2 ,B正确。对于C,当x+y 为定 值1时,A,B,P 三点共线,又P 是平行四边 形BCDE 内(含边界)的一点,所以点P 的轨 迹是一条线段,C正确。对于D,因为OB→= 1 2 (OC→+OA→),所以OC→=-OA→+2OB→,可得 OP→=-OA→+2OB→,所以x=-1,y=2,D错 误。应选BC。 对于D,也可直接利用平 面向量中的三点共线的结论 求解:当P 在点C 处时,由于A,B,C 三点共 线,则x+y=1,此时x=1,y=2显然不成 立,故选项D错误。在解决与三点共线相关 的问题时,利用平面向量中的三点共线的结 论,能更加简单快捷地解决。 四、综合交汇的应用 例4 在△ABC 中,BC=6,AC=2AB, 点D 满足AD→= 2xx+yAB →+ y2(x+y)AC →,设 f(x,y)=|AD→|,若不等式f(x,y)≥f(x0, y0)恒成立,则f(x0