5.平面向量及其应用考点例析-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■贾敬芳 平面向量具有几何形式与代数形式的双 重身份,是数形结合的重要载体,也是高考考 查的重点内容。 考点1:平面向量的基本概念 例1 (多选题)下列叙述中错误的是 ( )。 A.若a=b,则3a>2b B.若a∥b,则a与b的方向相同或相反 C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.对任一非零向量a, a |a| 是一个单位向 量 解:向量不能比较大小,A错误。当a= 0或b=0时,a与b的方向不是相同或相反, B错误。当b=0时,满足a∥b,b∥c,这时a 与c是任意向量,C不正确。对任一非零向 量a, a |a| 表示与a方向相同且模长为1的单 位向量,D正确。应选ABC。 评注:单位向量的模长为1,零向量的方 向是任意的;平行向量也叫共线向量,当两个 共线向量的方向相同且模相等时,这两个向 量为相等向量;向量之间不能比较大小,但它 们的模可以比较大小。 考点2:平面向量的线性运算 例2 在△ABC 中,|AB→|=2,BD→= 1 3BC →,O 是△ABC 所在平面内一点,4OA→+ 2OB→+3OC→=0,则|OD→|等于 。 解:由4OA→+2OB→+3OC→=0,可得OC→= - 1 3 ·(4OA→+2OB→)。因为BD→=13·BC →,所 以OD→-OB→=13BC →=13(OC →-OB→),所以 OD→=13OC →+23OB →=-19·(4OA →+2OB→) + 2 3OB →=49(OB →-OA→)=49AB →。又|AB→|= 2,所以|OD→|=49|AB →|=89。 评注:平面向量的线性运算的技巧是把 待求向量放在三角形或平行四边形中,利用 三角形法则或平行四边形法则及向量共线定 理,用已知向量表示未知向量。 考点3:共线向量定理及其应用 例3 已知a,b 为非零不共线向量,若 向量8a-kb与-ka+b共线,则k= 。 解:因为向量8a-kb 与-ka+b 共线, 且a,b 为非零不共线向量,所以8a-kb= t(-ka+b)= -kta+tb(t∈R),所 以 8=-kt, -k=t, 解得k=±22。 评注:已知向量共线求参数,可根据向量 共线的条件建立方程,通过解方程求得参数 的值。 考点4:平面向量基本定理及其应用 例4 如图1所示,在△ABC 中,AQ 为 边BC 的 中 线,AP→=tAQ→,MP→=xMN→, AM→=λAB→,AN→=μAC→,其中t>0,x>0,λ> 0,μ>0。 图1 (1)当t= 1 3 时,用向量AB→,AC→ 表示AP→。 (2)证明: t λ+ t μ 为定值。 解:(1)当t= 1 3 时,AP→=13AQ →。因为 AQ 为边BC 的中线,所以AQ→=AB→+BQ→= AB→+12BC →=AB→+12(AC →-AB→)=12AB →+ 01 知识结构与拓展 高一数学 2024年3月 1 2AC →,所以AP→=16AB →+16AC →。 (2)由(1)知 AQ→=12AB →+12AC →,所以 AP→=tAQ→=t2(AB →+AC→)。 因为 MP→=xMN→,AM→=λAB→,AN→= μAC →,所以 MP→=AP→-AM→=xAN→-xAM→, 即 t 2 (AB→+AC→)-λAB→=xμAC→-xλAB→,整 理得 t 2-λ+xλ AB→= xμ-t2 AC→。 因为AB→,AC→ 是不共线向量,所以t2- λ+xλ=xμ- t 2=0 ,所以 t λ=2-2x , t μ =2x, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 两式 相加得 t λ+ t μ =2。 评注:将两个不共线的向量作为基底表 示其他向量的两种方法:一是运用向量的线 性运算法则,对待求向量进行转化,直至用基 底表示为止;二是通过列出向量方程,结合基 底表示向量的唯一性求解。 考点5:平面向量的数量积的应用 例5 在△ABC 中,M 是BC 的中点, AB=3,AM=1,则cos∠BAC 的最大值为 。 解:如图2所示,设AC=t(t>0)。 图2 因为 M 是BC 的中点,所以AB→+AC→= 2AM→,所 以 AB→ 2 +2AB→ ·AC→ +AC→ 2 = 4AM→ 2 ,即|AB→| 2 +2|AB→|·|AC→|cos∠BAC +|AC→|2=4|AM→| 2 ,也即9+6tcos∠BAC +t2=4,所以cos∠BAC=- 1 6 t+ 5 t ≤ - 1 6 ·2 t· 5 t =- 5 3 ,当且仅当t= 5 t ,即 t= 5时取等号。所以cos∠BAC 的最大值 为- 5 3 。 评注:本题也可利用几何方法求解,有兴 趣的同学可以试一试。 考点6:平面向量的综合应用