3.含有平面几何特征的解三角形问题-4.优化运算巧应用，复数问题妙解答-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■杨晓柯 解三角形问题不仅涉及正弦定理和余弦 定理的应用,也涉及多种数学思想的运用。 例1 如图1,在平面四边形ABCD 中, AB=2,BC=5,∠ABC=120°,∠ACD= 90°,∠CDA=60°,求BD 的长。 图1 解法1:利用正弦、余弦定理求解。设 ∠ACB=α。在△ABC 中,由余弦 定 理 得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos120°=39, 则AC= 39。在 Rt△ACD 中,由∠CDA =60°,可得CD= 13。在△ABC 中,由正 弦定理得 AB sinα= AC sin120° ,所以sinα= 13 13 , 所以cos∠BCD=cos(90°+α)=-sinα= - 13 13 。在△BCD 中,由余弦定理得BD2= BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=48,所 以BD=43。 解法2:利用圆内接四边形的性质求解。 由∠ABC=120°,∠CDA=60°,可知∠ABC 与∠CDA 互补,所以四边形 ABCD 是圆内 接四边形。由∠ACD=90°,可得AD 是对应 外接圆的直径。由圆内接四边形的性质得 ∠ABD=90°。在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos120°=39, 所 以 AC = 39。在 Rt △ACD 中,由 ∠CDA=60°,可 得 AD =2 13。因 为 △ABD 是 直 角 三 角 形,所 以 BD = AD2-AB2=43。 评注:解法1是常规解法;解法2是利用 四点共圆的几何特征,找到线段之间的关系 获解的。 例2 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别为a,b,c,且 A= 2π 3 ,BC 边上的中线 AD=2,求△ABC 面积的最大值。 解法1:利用正弦、余弦定理和基本不等 式求解。因为∠ADB 和∠ADC 互补,所以 cos∠ADB+ cos ∠ADC = 0, 所 以 AD2+BD2-AB2 2AD·BD + AD2+CD2-AC2 2AD·CD =0 。 因为BD=CD,所以2AD2+2BD2-AB2- AC2=0。 ① 由 A= 2π 3 ,结 合 余 弦 定 理 得 AB2+ AC2-4BD2=-AB·AC。 ② 由 ① ② 消 去 BD2 得 AB2 +AC2 = 4AD2+AB·AC=16+AB·AC≥2AB· AC,所以AB·AC≤16,所以△ABC 的面积 S= 1 2AB ·AC·sin 2π 3≤43 ,即△ABC 面 积的最大值为43。 解法2:利用中线的几何特征求解。由 |AD→|= AB →+AC→ 2 =2 ,可得|AB→+AC→|= 4,所以|AB→|2+|AC→|2+2|AB→||AC→|cos2π3 =|AB→| 2 +|AC→| 2 -|AB→||AC→|=16≥ |AB→||AC→|,所以(|AB→||AC→|)max=16,当且 仅当|AB→|=|AC→|=4时等号成立。所以 △ABC 面 积 的 最 大 值 为 1 2|AB →||AC→|· sin∠BAC=43。 评注:解法1是余弦定理和基本不等式 的灵活应用;解法2采用了向量法,这是解三 角形问题的一种常用方法。 作者单位:河南省登封市教学研究室 (责任编辑 郭正华) 7 知识结构与拓展 高一数学 2024年3月 ■陈 墨 复数是每年高考必考的基本知识之一, 考查方式以复数的概念与复数的运算为主, 考查内容离不开复数的四则运算与应用。解 决复数问题,要挖掘题设条件及其内涵,抓住 复数的基本概念与基本性质,利用复数的四 则运算法则,优化相应的复数运算,可以使复 数问题的解决更加简捷、有效。 一、待定系数巧换元 在处理一些复杂的复数应用问题时,对 于简单抽象的复数z,可以借助待定系数法 进行巧妙换元,使得复数问题实数化,结合实 数的基本性质与运算达到解决问题的目的。 例1 已知复数z满足|z-1-i|≤1,则 |z|的最小值为( )。 A.1 B.2-1 C.2 D.2+1 分析:设复数z=x+yi(x,y∈R),通过 复数的模构建相应的不等式,将复数问题转 化为圆上的动点到坐标原点的最小距离问 题,处理起来更加简单快捷。 解:设复数z=x+yi(x,y∈R),由复数 z满足|z-1-i|≤1,可得(x-1)2+(y- 1)2≤1,所以|z|的最小值即为圆(x-1)2+ (y-1)2=1上的动点到原点的最小距离,所 以|z|的最小值为 2-1。应选B。 待定系数法是解决一些 含有复杂关系式的复数模问 题的常用方法。借助待定系数法换元处理, 可以使得复数问题的解决更加方便、有效。 二、数字特征巧观察 在进行复数的四则运算时,抓住运算关 系