2.基于纯虚数，破解复数题-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■杨海萍 对于复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0 且b≠0时,复数z为纯虚数。借助纯虚数 的概念与性质,通过巧妙设置问题,综合考 查复数的基本概念、基本运算,以及综合应 用,已成为新高考复数命题中的一个热点 问题。 一、参数问题 例1 设i为虚数单位,若复数(1-i)(1 +ai)是纯虚数,则实数a的值为( )。 A.-1 B.0 C.1 D.2 分析:通过复数的乘法运算,结合纯虚数 的概念,建立方程组,确定参数的值。 解:因为(1-i)(1+ai)=1+ai-i+a= 1+a+(a-1)i为纯虚数,所以1+a=0且 a-1≠0,解得a=-1。应选A。 根据纯虚数的概念,确定 参数的值(或范围)问题,关键 是利用复数的四则运算进行恒等变形与转 化,构建对应的方程(或不等式)进行分析与 判断。 二、运算问题 例2 若z=(a- 2)+ai为纯虚数,其 中a∈R,则 a+i7 1+ai= ( )。 A.-i B.i C.1 D.-1 分析:根据题设条件,建立方程,确定相 应的参数值,利用参数的值代入求解。 解:因为z=(a- 2)+ai为纯虚数,所 以a- 2=0且a≠0,解得a= 2。所以 a+i7 1+ai= 2-i 1+ 2i = (2-i)(1- 2i) (1+ 2i)(1- 2i) = -3i 3 = -i。应选A。 借助纯虚数的概念及性 质的应用,已经成为高考考查 复数问题的一种基本方式。 三、条件判断 例3 “a= 2”是“复数 a2+2i 1-i (a∈R)为 纯虚数”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析:利用复数的除法运算与纯虚数的 概念,确定参数a 的值,再利用充分、必要条 件的定义进行分析与判断。 解:因 为 a 2+2i 1-i = (a2+2i)(1+i) (1-i)(1+i) = a2-2+(a2+2)i 2 ,所以复数a 2+2i 1-i (a∈R)为 纯虚数的充要条件是a2-2=0且a2+2≠0, 所以a=± 2。所以“a= 2”是“复数 a2+2i 1-i (a∈R)为纯虚数”的充分不必要条件。应选A。 这里巧妙将复数知识、逻 辑知识加以融合,实现不同知 识间的交汇,从而达到数学能力的深化与提升。 四、最值问题 例4 已知复数z 满足 z-1 z+1 是纯虚数, 则|z2+z+3|的最小值为 。 分析:设出复数的代数形式,代入复数的 关系式,利用纯虚数的概念及复数模的公式, 把所求问题转化为二次函数的最值问题进行 求解。 解:设复数z=a+bi(a,b∈R),则 z-1 z+1 = a+bi-1 a+bi+1= (-1+a+bi)(1+a-bi) (1+a+bi)(1+a-bi) = a2+b2-1+2bi (1+a)2+b2 。 因为 z-1 z+1 为纯虚数,所以a2+b2-1=0 且2b≠0,所以a2+b2=1(b≠0),则b2=1- a2>0,所以-1<a<1。 5 知识结构与拓展 高一数学 2024年3月 |z2+z+3| =|a2-b2+2abi+a+bi+3| =|a2-b2+a+3+(2ab+b)i| = (a2-b2+a+3)2+b2(2a+1)2 = (2a2+a+2)2+(1-a2)(2a+1)2 = 12a2+8a+5 = 12a+ 1 3 2 + 33 9 。 所以当a=- 1 3 时,|z2+z+3|取得最 小值 33 9= 33 3 。 解答本题的关键是二次 函数的图像与性质的应用,但 要注意参数的取值范围的确定。 五、应用问题 例5 (多选题)欧拉公式exi=cosx+ isinx 是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公 式将指数函数的定义域扩大到复数,建立 了三角函数与指数函数的关联,在复变函 数论里面占有非常重要的地位,被誉为数 学中的天桥。依据欧拉公式,下列说法正 确的是( )。 A.复数e2i对应的点位于第二象限 B.e π 2i为纯虚数 C.复数 exi 3+i 的模长等于 1 2 D.e π 6i的共轭复数为 1 2- 3 2i 分析:欧拉公式exi=cosx+isinx 是复 数的指数形式与三角形式相互转化的理论依 据。解答本题的关键是要理解复数的几何意 义、纯虚数的概念、共轭复数的概念,要熟练 掌握复数模的公式的应用。 解:对于 A,因为e2i=cos2+isin2,又 π 2<2<π ,所以cos2<0,sin2>0,所以复数 e2i对应的点位于第二象限,A正确。对于B, e π 2i=cos π 2+isin π 2=i ,则e π 2i 为纯虚数,B 正确。对于C,因为 exi 3+i = cosx+i