1.正弦、余弦定理的基本应用知多少-《中学生数理化》高一数学2024年3月刊

■王佩其 我们知道,正弦定理与余弦定理的基本 功能是解三角形,那么这两个定理有哪些基 本应用呢? 我们一起来盘点。 一、利用正弦、余弦定理解决基本量问题 例1 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别为a,b,c,已知4a=3b,B=2A。 (1)求cosB。 (2)若a=9,求△ABC 的面积。 解:(1)由4a=3b及正弦定理得4sinA =3sinB。由 B=2A 得sinB=sin2A= 2sinAcosA,所以4sinA=6sinAcosA。由 0<A<π知sinA>0,所以cosA= 2 3 ,所以 cosB=cos2A=2cos2A-1=- 1 9 。 (2)(方法1)当a=9时,代入4a=3b得 b=12。由(1)知cosB=- 1 9 。由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,可得144=81+c2+ 2c,整理得c2+2c-63=0,解得c=7(负值 舍去)。 结 合 (1)得 sinA = 1-cos2A = 1- 4 9= 5 3 ,所以S△ABC= 1 2bcsinA= 1 2× 7×12× 5 3=145 。 (方法2)当a=9时,代入4a=3b得b= 12。由(1)知cosA= 2 3 。由余弦定理a2= b2+c2-2bccosA 得81=144+c2-16c,整 理得c2-16c+63=0,解得c=9或c=7。 若c=9,则△ABC 为等腰三角形,此时 A=C,由B=2A 及内角和定理得A= π 4 ,这 时与cosA= 2 3 矛盾,不合题意,所以c=7。 因为sinA= 1-cos2A = 1- 4 9 = 5 3 ,所以S△ABC= 1 2bcsinA= 1 2×7×12× 5 3=145 。 正弦、余弦定理的作用是 实现三角形的边角关系的互 化。 二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 例2 在△ABC 中,2a·cosB=c,则 △ABC 的形状一定是( )。 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形 解:(正弦定理边化角法)在△ABC 中, 由 2a ·cosB =c,结 合 正 弦 定 理 得 2sinAcosB=sinC=sin (A +B),所 以 2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即 sin(A-B)=0,所以A-B=0,即A=B,所 以△ABC 为等腰三角形。应选B。 (余弦定理角化边法)由2a·cosB=c, 结合余弦定理得2a· a2+c2-b2 2ac =c ,化简得 a=b,所以△ABC 的形状一定是等腰三角 形。应选B。 判断三角形形状的两种 思路:化边,通过因式分解、配 方,得出边的关系,从而判断三角形的形状; 化角,通过三角恒等变形,得出角的关系,从 而判断三角形的形状。 三、利用正弦、余弦定理求最值或范围 例3 (1)已知△ABC 满足2cos2A+ 2=cos2C+3cos2B,则cosB 的 最 小 值 为 。 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边 分别为a,b,c,满足b2+c2-a2=bc,a= 3, 3 知识结构与拓展 高一数学 2024年3月 则b+c的取值范围是 。 解:(1)依题意得2-2sin2A+2=1- sin2C+3-3sin2B,即 sin2C =2sin2A - 3sin2B。由正 弦 定 理 得c2=2a2-3b2,即 b2= 2 3a 2- 1 3c 2,所以cosB= a2+c2-b2 2ac = a2+c2- 2 3a 2+ 1 3c 2 2ac = 1 3a 2+ 4 3c 2 2ac = 1 6 · a2+4c2 ac ≥ 1 6 ·2 a 2·4c2 ac = 2 3 ,当且仅当 a=2c时等号成立,所以cosB 的最小值为 2 3 。 (2)由余弦定理得cosA= b2+c2-a2 2bc = 1 2 。因为A∈(0,π),所以A= π 3 ,所以B+ C= 2π 3 ,0<C< 2π 3 。由正弦定理得2R= a sinA= 3 3 2 =2,所 以 b+c=2RsinB+ 2RsinC=2(sinB+sinC)=2sin2π3-C + 2sinC=2 3 2cosC+ 1 2sinC +2sinC= 3sinC+ 3cosC=2 3sinC+ π 6 。因为 0<C< 2π 3 ,所以π 6<C+ π 6< 5π 6 。又因为 sinC+ π 6 ∈ 12,1 ,所 以 b + c = 23sinC+ π 6 ∈ 3,23 。 求三角形的最值或范围 问题,可以将待求量用一个角 的三角函数表示,也可以将待求量用某条边 表示,然后利用三角函数的性质、二次函数的 性质、基本不等式等