2024年中考数学二轮复习——二次函数之线段和最值讲义

二次函数之线段的和（a+kb型）最值 一．例题 1．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求PM+2BH的最大值； 解：（1）∵抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C（0，﹣3），代入，得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， ∴a＝1， ∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3； （2）∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴设直线BC：y＝kx﹣3，将B（3，0）代入，得：k＝1， ∴y＝x﹣3； 设P点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则M点坐标为（m，m﹣3），H点坐标为（m，0）． ∴PM＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，BH＝3﹣m．，BH＝3﹣m． ∴． 当时，PM+2BH取最大值，最大值为． 2．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点和点P都在抛物线上． （1）求出抛物线表达式； （2）如图1，若点P在直线AD的上方，过点P作 PH⊥AD，垂足为H，求AHPH的最大值； 解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B（3，0）点，点和点P都在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）设直线AD交y轴于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点Q，如图， 设P（m，﹣m2+2m+3），则OF＝m，PF＝﹣m2+2m+3，QFm， ∴PQ＝PF﹣QF＝﹣m2m． 由①知：△AOE∽△PHQ， ∴， ∴， ∴PHm+1． 过点H作HG⊥x轴于点G，HR⊥PF于点R，则四边形HRFG为矩形， ∴FG＝HR． 由①知：∠AEO＝∠PQH， ∴tan∠AEO＝tan∠PQH， ∴， ∴QHPHm． ∵OE∥QF， ∴△AOE∽△AQF， ∴， ∴， ∴AQ， ∴AH＝AQ+QHm+3． ∴AHPHm+3+（m） ＝﹣m2m ． ∵﹣1＜0， ∴当m时，AHPH有最大值为； 3．抛物线y＝﹣x2+bx+3与直线y＝x+1相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A在x轴的负半轴上． （1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； （2）当点P运动到抛物线对称轴右侧时，连接AP，交抛物线的对称轴于点M，当AMDM最小时，直接写出此时AP的长度． 解：（1）∵y＝x+1与x轴交于点A． ∴将y＝0代入得x＝﹣1， ∴点A（﹣1，0）， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+3， 解得：b＝2． 故抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4①， 即顶点D的坐标为（1，4）； （2）如图，设抛物线与x轴的另外一个交点为T（3，0），抛物线和x轴的交点为L（1，0），连接DT， 则tan∠LDT，则sin∠LDT， 过点M作MR⊥DT于点R，延长MR交抛物线于点P， 则此时，MR＝DMsin∠LDTDM， 故当A、M、R共线时，AMDM＝AM+MR为最小， ∵∠DRM＝∠ALM＝90°，∠DMR＝∠AML， ∴∠PAL＝∠LDT， 即sin∠PAL＝sin∠LDT， 则tan∠PAL， 故直线AP的表达式为：y（x﹣xA）（x+1）x②， 联立①②得：﹣x2+2x+3x， 解得：x＝﹣1（舍去）或， 则点P的坐标为：（，）， 由点P、A的坐标得，PA． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）点D是第一象限内抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．求DEBE的最大值； （1）证明：yx2x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x1＝﹣2，x2＝8， ∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）， ∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10， ∴AC2＝OA2+OC2＝20，BC2＝OB2+OC2＝80， ∴AC2+BC2＝100， 而AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°； （2）解：①设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（8，0），C（0，4）代入可得：， 解得， ∴直线BC解析式为yx+4， 由（1）知，OC＝4，OB＝8， ∴BC＝4， ∵DF⊥x轴， ∴BE：BC＝BF：OB， ∴BFBE， 设第一象限D（m，m2m+4），则E（m，m+4）， ∴DE＝（m2m+4）﹣（m+4）m2+2m，BF＝8﹣m， ∴DEBE＝DE+BF＝（m2+2m）+（8﹣m） m2+m