9.4 随机变量的分布列及数字特征（高考8大热点+真题+最新模拟）-2024年高考数学二轮专题复习（新高考专用）

新思维 易学优 2024年高考数学专题复习 专题9 概率与统计 9.4 随机变量的分布列及数字特征 9.4 随机变量的分布列及数字特征 近5年高考真题分析 考点 年份及考题分布 二项分布 2019•天津卷；2018•新课标Ⅲ卷；2018•新课标Ⅰ卷； 超几何分布 2022•浙江卷；2018•天津卷； 正态分布 2021•新高考Ⅱ卷；2022•新高考Ⅱ卷 随机变量的期望与方差 2022•北京卷；2019•浙江卷；2020•浙江 比赛问题 2022•全国卷；2022•甲卷；2021•新高考Ⅰ卷 生活中的决策的比赛问题 2021•北京卷 函数问题 2021•新高考Ⅱ卷； 递推问题 2023·新高考Ⅰ卷；2020•江苏卷 创新问题 2020·山东卷；2022·全国新高考Ⅰ卷 离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，主要考查超几何分布、二项分布及正态分布，选择题、填空题、解答题都有出现，通过近几年新高考的试题可以发现，分布列问题也常与数列、函数相结合综合命题. 考点1 二项分布 例1．（2019•天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率． 【对点练1】（2018•新课标Ⅲ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【对点练2】（2018•新课标Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点． （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 考点2超几何分布 例2．（2018•天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． 用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望； 设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率． 【对点练1】（2022•浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则　　，． 考点3 正态分布 例3．（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是 A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 【对点练1】（2022•新高考Ⅱ）已知随机变量服从正态分布，且，则　　． 考点4离散型随机变量的期望和方差 例4（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （Ⅱ）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望； （Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【对点练1】（2019•浙江）设．随机变量的