（2024年高考数学专题）导数及其应用知识精讲+大题特训

（2024年高考数学专题）导数及其应用知识精讲+大题特训 知识精讲 一、初等函数的导数公式表 ，为正整数 ，为有理数 注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意． 二、导数的四则运算法则 1.函数和（或差）的求导法则 设，是可导的，则，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． 2.函数积的求导法则 设，是可导的，则，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数． 综上所述：，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． 3.函数的商的求导法则 设，是可导的，，则．特别是当时，有． 三、复合函数的求导法则 法则：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数。那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。复合函数的导数和函数的导数间的关系为（注：表示对的导数，表示对的导数 大题特训 1．已知函数在点处的切线的斜率为 （1）求a的值； （2）求函数的单调区间和极值． 2．已知函数. （1）是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增； （2）若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数的底数） 3．函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，若，求证：； （3）求证：对于任意都有. 4．已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求的取值范围． 5．已知. （1）若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求的值； （2）当时，讨论函数的零点个数. 6．已知函数． （1）若的最值为，求实数的值； （2）当时，证明：． 7．已知函数. （1）当时，求过点且和曲线相切的直线方程； （2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 8． 已知函数（……是自然对数底数）． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，证明：． 9．已知 （1）当时，求过点的切线方程； （2）若对，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． [参考不等式：] 10．已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，试求实数的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：因为函数，所以， 因为在点处的切线的斜率为2，则，即， 所以； （2）解：由可知，，则， 令，即，解得， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以当时，取得极小值，无极大值． 2．【答案】（1）解：因为，则的定义域为， 进一步化简得： 令，则在上单调递增， 且，所以时，时， 要使得单调递增，则在上恒成立 当时，恒成立 当时，，当时，，不合题意 当时，，当时，，不合题意 综上：. （2）解：由（1）可得且，极值点为与1， 所以 令 当时，单调递增 当时，单调递减， 所以，即成立. 3．【答案】（1）解：函数的定义域是. 由已知得，. ①当时， 由得，或， ∴的单调增区间为，， ②当时， 当时，，所以单调增区间为. ③当时， 由得：或， ∴的单调增区间为， 综上，①当时，函数单调递增区间为，； ②当时，函数单调递增区间为； ③当时，函数单调递增区间为，. （2）解：当时，. 由（1）知，函数在上单调递增且； 令 ，， 令， 令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 令，则，则， 故， 所以恒成立， 不妨设，则， 所以，所以， 因为，，而在单调递增， 所以，所以. （3）解：由（2）知，时，， 即， 故在时恒成立， 所以， ， ， ……， ， 相加得. 4．【答案】（1）解： ，又， 所以曲线在处的切线方程为． （2）解：由得， 因为，所以对恒成立， 因为，，所以． 下证时，在上恒成立． 因为， 当，时，，即， 综上所述，的取值范围为． 5．【答案】（1）解：由题意可得：， 设切点坐标为， 则切线斜率为，即， 可得切线方程为， 将，代入可得， 整理得， 因为在内单调递增， 则在定义域内单调递增，且当时，， 可知关于的方程的根为1，即， 所以. （2）解：因为， 则， 可知在内单调递减， 且，则，且在内单调递减， 可知在内单调递减，所以在内单调递减， 且， （i）若，即时，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则，当且仅当时，等号成立， 所以在内有且仅有1个零点； （ⅱ）若，即时，则在内恒成立， 可知在内单调递减，则，当且仅当时，等号成立， 所以在内有且仅有1个零点； （ⅲ）若，即时，则在内存在唯一零点， 可知当时，；当时，； 则在内单调递增，在内单调递减， 且，可知，可知在内有且仅有1个零点， 且， ①当，即时，则在内有且仅有1个零点； ②当，即时，则在内没有零点； 综上所述：若时，在内