题型五 圆的相关证明与计算（复习讲义）-2024年中考数学二轮复习满分冲刺题型突破（全国通用）

题型五圆的相关证明与计算（复习讲义） 【考点总结|典例分析】 考点01圆的有关概念 1．与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧． （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角． （6）弦心距：圆心到弦的距离． 考点02垂径定理及其推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 2．推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 考点03圆心角、弧、弦的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立． 2．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 考点04圆周角定理及其推论 1．定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． （2）直径所对的圆周角是直角． 考点05与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d． (1)d<r⇔点在⊙O内； (2)d=r⇔点在⊙O上； (3)d>r⇔点在⊙O外． 判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 2．直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d>r d=r d<r 考点06切线的性质与判定 1．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点． （2）切线到圆心的距离等于圆的半径． （3）切线垂直于经过切点的半径． 利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 2．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线判定常用的证明方法： ①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； ②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 考点07三角形与圆 1.三角形外接圆 外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆 内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·重庆·统考中考真题）如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 5.如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ） A．95° B．100° C．105° D．110° 6．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）    A． B． C． D． 7.如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若，则的度数为（ ） A．70° B．90° C．40° D．60° 8.如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ） A．3 B． C． D． 9．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 10．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若直径，求的长． 11.如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC． （1）求证：AC是的切线． （2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长． 12．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，是的直径，点在上，，点在