8.3 导数与不等式（5大题型+高考真题+最新模拟）-2024年高考数学二轮专题复习（新高考专用）

( 易学优 ) ( 新思维 ) ( 2024年高考数学专题复习 ) ( 8.3 导数与不等式 ) ( 专题8 导数 ) 专题8 导数 8.3 导数与不等式 近5年高考真题分析 考点 年份及考题分布 单变量不等式的证明 2023·新课标全国Ⅰ·19；2023·新课标全国Ⅱ·22；2023·天津·20；2021·全国乙卷（理）·20； 双变量不等式的证明 2022·全国甲卷（理）·21；2022·北京·20；2021·全国新高考Ⅰ·21 数列不等式的证明 2022·新高考全国Ⅱ·22；2020·新课标Ⅱ（理）·21 恒成立问题 2023·全国甲卷（理）·21；2023·全国甲卷（文）·20；2021·天津·20；2019·天津（理）·8；2020·新高考全国卷Ⅰ（山东卷；）2020·新课标Ⅰ（理）·21；2019·新课标Ⅰ（文）·20 能成立问题 2019·浙江·16； 1、 命题规律 导数与函数、数列相结合，综合考查不等式的知识，是高考中的重点题型题型，其既可以选择题、填空题中考查，也可以在解答题中考查，通过上面的统计可以发现，不等式与函数、导数相结合几乎是高考必考内容，这种规律也会一直延续下去。 2、 备考建议 通过九省联考和2023年全国一卷的试题可以发现，导数题也不再是高不可攀，难度相对以前大幅下降，对应的题目位置相应前移，也就告诉我们，对导数与不等式问题的基本处理方法都应该做到心中有数，这部分内容既可以处在压轴题的位置，也可以出在中档题的位置，不管我们的数学水平处于何种层次，都不能对这部分内容轻言放弃。 题型一 单变量不等式的证明 例1（2023·新课标全国Ⅰ·19）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【对点练1】（2023·新课标全国Ⅱ·22节选）（1）证明：当时，； 【对点练2】（2023·全国甲卷（理）·21改编）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)求证：若时成立． 例2已知函数,证明:当时,. 【对点练1】已知函数，当时，证明． 题型二 双变量不等式的证明 例3．（2021·全国新高考Ⅰ·21）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【对点练1】已知函数f(x)＝xe－x. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 题型三 数列不等式的证明 例4．（2022·新高考全国Ⅱ·22改编）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若时，在上恒成立，设，证明：． 【对点练】(2023·天津模拟改编)已知函数f(x)＝－k， (1)若f(x)≤0恒成立，求实数k的取值范围； (2)证明：ln ＋ln ＋…＋ln <(n>1). 题型四 不等式的恒成立问题 例5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求. 【对点练1】（23-24高三下·河北·开学考试）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数m的取值范围． 【对点练2】（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围． 题型五 不等式能成立问题 例6．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知． (1)讨论的单调性和极值； (2)若时，有解，求的取值范围． 【对点练1】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【对点练2】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围． 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（2024·辽宁·一模）已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（20-21高三上·湖南长沙·阶段练习）关于函数，下列判断正确的是（    ） A．的极大值点是 B．函数有且只有个零点 C．存在实数，使得成立 D．对任意两个正实数，，且，若，则 5．（2024·江苏徐州·一模）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，有唯一零点 B．当时，是减函数 C．若只有一个极值点，则或 D．当时，对任意实数，总存在实数，使得 6．（2024·江西·一模）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值可能是（