第二章 素养提升课(二) 运动图像追及相遇问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一物理必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（教科版2019）

素养提升课(二)　运动图像追及相遇问题 [学习目标]　1．掌握运动图像的意义及应用，能运用图像分析实际问题。　2．能运用所学知识处理追及、相遇问题。　3．能处理单过程和多过程的追及、相遇问题。 一　运动图像的理解及应用 1．x －t图像与v －t图像的比较 图像 项目　　 x －t图像 v －t图像 物理意义 反映位移随时间的变化规律 反映速度随时间的变化规律 轴 纵轴为位移x 纵轴为速度v 线 (1)平行于t轴的直线表示静止 (2)倾斜直线表示匀速直线运动 (1)平行于t轴的直线表示匀速运动 (2)倾斜直线表示匀变速直线运动 斜率 表示速度 表示加速度 纵截距 表示初位置 表示初速度 交点 表示该时刻相遇 表示该时刻速度相同 面积 无实际意义 图线与时间轴围成的面积表示位移 2．x －t图像与v －t图像的实例对比 比较内容 x －t图像 v －t图像 图像 物体 的运 动性质 ① 表示物体由坐标原点开始做匀速直线运动(斜率表示速度v) 表示物体做初速度为零的匀加速直线运动(斜率表示加速度a) ② 表示物体静止不动 表示物体做正方向的匀速直线运动 ③ 表示物体向反方向做匀速直线运动 表示物体做正方向的匀减速直线运动 续表 比较内容 x －t图像 v －t图像 物体 的运 动性 质 ④ 交点的纵坐标表示三个运动物体相遇时的位置 交点的纵坐标表示三个运动物体的速度相同 ⑤ t1时刻物体①的位移为x1；图中阴影部分的面积没有实际意义 t1时刻物体①的速度为v1；图中阴影部分的面积表示物体①在0～t1时间内的位移 (多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是(　　) A．在t1时刻两车速度相等 B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等 C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等 D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等 CD　[x －t图像斜率表示两车速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，故A错误。由两图线的纵截距知，出发时甲车在乙车前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，故B错误。t1和t2时刻两图线相交，表明两车均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等；在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，即该时刻两车速度相等，故C、D正确。] (多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是(　　) A．两车在t1时刻也并排行驶 B．在t1时刻甲车在后，乙车在前 C．甲车的加速度大小先增大后减小 D．乙车的加速度大小先减小后增大 BD　[t1～t2时间内，v甲＞v乙，t2时刻相遇，则t1时刻甲车在乙车的后面，故A错误，B正确。由图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，故C错误，D正确。] 针对练1： 一质点的位置x随时间t的变化如图所示，能正确表示该质点的速度v与时间t的关系图像是选项图中的(　　) A　[位置—时间图像的斜率表示速度，可得四个阶段的速度分别是：负值，0，正值，0，对比选项图可知A正确。] 针对练2：(多选)小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图所示，取g＝10 m/s2，则下列判断正确的是(　　) A．小球下落的最大速度为5 m/s B．小球第一次反弹初速度的大小为3 m/s C．小球能弹起的最大高度为0．45 m D．小球能弹起的最大高度为1．25 m ABC　[由题图可知，小球在下落0．5 s时速度最大为5 m/s，小球的反弹初速度为3 m/s，故A、B正确；小球弹起后的负向位移为h＝＝ m＝0．45 m，故C正确，D错误。]二　追及和相遇问题 1．对追及、相遇的认识 (1)相遇问题 相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。 (2)追及问题 同向运动的两物体，若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置。 2．分析追及相遇问题的思路和方法 (1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系。 一个条件 速度相等 这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点 两个关系 时间关系和位移关系 通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口 (2)常用方法 ①物理方法：通过对物理情境和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解。 ②数学方法：由于在匀变速运动的位移表达式中有时间的二次方，我们可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解。 ③图像法：对于定性分析的问题，可利用图像法分析，避开繁杂的计算，快速求解。 一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一人骑自行车以v0＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问： (1)汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？ (2)当汽车与自行车再次相遇时汽车的速度是多大？ 解析：　解法一：用物理分析法求解 (1)当汽车的速度v1＝v0＝6 m/s时，两车相距最远，所用时间t1＝＝2 s，最远距离Δx＝v0t1－at12＝6 m。 (2)两车再次相遇时有v0t2＝at22，解得t2＝4 s ，汽车的速度v＝at2＝12 m/s 。 解法二：用图像法求解 (1)汽车和自行车的v －t图像如图所示，由图可得t＝2 s时，两车相距最远。最远距离等于图中阴影部分的面积，即Δx＝×6×2 m＝6 m。 (2)两车再次相遇时，两车v －t图线与横轴包围的面积相等，由图可得此时汽车的速度v＝12 m/s。 解法三：用数字分析法求解 (1)由题意知，自行车与汽车的位移之差Δx＝v0t－at2， 因二次项系数小于零，当t＝＝2 s时，Δx有最大值，最大值Δxm＝v0t－at2＝6×2 m－×3×22 m＝6 m。 (2)当Δx＝v0t－at2＝0时两车相遇，解得t1＝4 s，t2＝0(舍去)，汽车的速度v＝at1＝12 m/s 。 答案：　(1)2 s　6 m　(2)12 m/s 解答追及相遇问题的常用方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立起一幅物体运动关系的情境，并画出运动情境示意图，找出位移关系 图像法 将两者的速度—时间图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解 数学分析法 设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇 针对练1： (2022·高一联考)(多选)如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度v0＝10 m/s，同时 让甲球自由下落，不计空气阻力。(取g＝10 m/s2，甲、乙两球可看作质点)下列说法正确的是(　　) A．无论h为何值，甲、乙两球一定能在空中相遇 B．当h＝10 m时，乙球在最高点与甲球相遇 C．当h>10 m时，乙球一定能在下降过程中与甲球相遇 D．当h<10 m时，乙球一定能在上升过程中与甲球相遇 BD　[若两球能在空中经过时间t相遇，则v0t－gt2＋gt2＝h，即v0t＝h，其中t<＝2 s，即h<20 m，即只有当h<20 m时，甲、乙两球才能在空中相遇，选项A错误；当h＝10 m时，解得t＝1 s，此时乙球恰到达最高点，即乙球在最高点与甲球相遇，可知当h<10 m时，乙球一定能在上升过程中与甲球相遇，选项B、D正确；由A的分析可知、当h>20 m时，乙球不能与甲球相遇，选项C错误。] 针对练2：汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，制动后40 s停下来。现在同一平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方200 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，则： (1)求汽车刹车时的加速度大小； (2)是否发生撞车事故？若发生撞车事故，在何时发生？若没有撞车，两车最近距离为多少？ 解析：　(1)汽车制动加速度大小a＝＝0．5 m/s2 (2)当汽车减速到与货车共速时t0＝＝28 s 汽车运动的位移x1＝＝364 m 此时间内货车运动的位移为x2＝vBt0＝168 m Δx＝x1－x2＝196 m<200 m，所以两车不会相撞。 此时两车相距最近，最近距离Δs＝x0－Δx＝200 m－196 m＝4 m。 答案：　(1)0．5 m/s2　(2)不会相撞　4 m 1．(多选) 甲、乙两物体同时开始运动，它们的位移x与时间t的关系图像如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲、乙两物体从同一地点出发 B．甲物体做直线运动，乙物体做曲线运动 C．甲、乙的速度相同时甲在乙前面 D．甲、乙两物体相遇两次 CD　[由图知甲、乙两物体的出发点相距x0，A项错误；甲、乙两物体均做直线运动，B项错误；甲、乙两物体对应图线有两个交点，相遇两次，且两次相遇中间某个时刻甲、乙的速度相同(直线的斜率和曲线某点切线的斜率相同)，此时甲在乙的前面，C、D两项正确。] 2．(多选) A、B两个物体在同一直线上运动，它们的速度图像如图所示，则(　　) A．A、B两物体的运动方向相反 B．4 s内A、B两物体的位移相同 C．4 s时A、B两物体的速度相同 D．A物体的加速度的大小比B物体的小 CD　[两图像都在t轴上方，说明A、B两物体运动方向相同，所以A错误。4 s内A、B两物体对应的图像与坐标轴所围的面积不同，则位移不同，故B错误。4 s时A、B两物体的图像交于一点，对应速度相同，故C正确。A图像斜率的绝对值小，所以A物体的加速度的大小比B物体的小，因此D正确。] 3． 甲、乙两车在平直的公路上同时同地沿同一方向做直线运动，它们的v －t图像如图所示，在0～20 s这段时间内，下列说法正确的是(　　) A．在t＝10 s时两车相遇 B．在t＝10 s时两车相距最近 C．在t＝20 s时两车相遇 D．在t＝20 s时，乙车在甲车前面 C　[在0～10 s内甲车的速度比乙车的大，甲车在乙车的前方，两者间距增大；t＝10 s后乙的速度比甲的大，两者间距减小，所以t＝10 s时甲、乙两车相距最远，故A、B错误；根据v －t图线与时间轴所围“面积”表示位移，可知t＝20 s时甲、乙的位移相等，两车相遇，故C正确，D错误。] 4．(多选) 司机闯黄灯要扣6分，被称为“史上最严交规”。某小轿车驾驶员看到绿灯开始闪时，经短暂思考后开始刹车，小轿车在黄灯刚亮时恰停在停车线上，v －t图像如图所示。若绿灯开始闪烁时小轿车距停车线距离L＝10．5 m，则(　　) A．小轿车的刹车距离为8 m B．小轿车刹车的加速度大小为2．4 m/s2 C．绿灯开始闪烁到黄灯刚亮的时间t0为3 s D．绿灯开始闪烁到黄灯刚亮的时间t0为2．5 s BC　[由图知，小轿车在前0．5 s反应时间内做匀速直线运动，通过的距离x＝v0Δt＝6×0．5 m＝3 m，则小轿车的刹车距离为s＝L－x＝10．5 m－3 m＝7．5 m，故A项错误；小轿车刹车过程，有s＝(t0－0．5)，得t0＝3 s，所以小轿车刹车的加速度大小为a＝＝ m/s2＝2．4 m/s2，故B、C两项正确，D项错误。] 5．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现在他前面x0＝13 m远处以v0＝8 m/s的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经t0＝2．5 s，警车发动起来，以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，求： (1)警车发动后追上违章的货车所用的时间t； (2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离Δxm。 解析：　(1)警车开始运动时，货车在它前面 Δx＝x0＋v0t0＝13 m＋8×2．5 m＝33 m 警车运动位移：x1＝at2 货车运动位移：x2＝v0t 警车要追上货车满足：x1＝x2＋Δx 联立并代入数据解得：t＝11 s(t＝－3 s舍去) (2)警车速度与货车速度相同时，相距最远 对警车有：v0＝at′ x1′＝at′2，x2′＝v0t′ 最远距离：Δxm＝x2′－x1′＋Δx＝49 m。 答案：　(1)11 s　(2)49 m 学科网（北京）股份有限公司 $$