第二章 专题强化5 追及相遇问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一物理必修第一册学习笔记（教科版）

专题强化5　追及相遇问题

[学习目标]　1.进一步熟练运用匀变速直线运动的公式(重点)。2.会分析追及相遇问题中物体速度、位移的变化，会根据位移关系及速度关系列方程(难点)。

两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题。

一、初速度小者追初速度大者——最大距离问题

例1　一辆汽车停在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以恒定加速度a为3 m/s2开始行驶，恰在这时一人骑自行车以v0为6 m/s的速度匀速驶过，从后面超过汽车。

(1)求汽车启动后追上自行车所用时间及追上时汽车的速度大小；

(2)汽车启动后，在追上自行车前，两者的距离如何变化？追上自行车前距离最远时两者速度有什么关系？

(3)求汽车追上自行车前两者的最大距离。

答案　(1)4 s　12 m/s　(2)见解析　(3)6 m

解析　(1)汽车追上自行车时，两者位移相等，

x汽＝x自，即at2＝v0t

代入数据解得t＝4 s

由v＝at得，追上时汽车的速度大小v＝12 m/s

(2)当v汽<v自时两者距离逐渐变大，

当v汽＝v自时两者距离最大，

当v汽>v自时两者距离逐渐变小，直至汽车追上并超过自行车。

即当两车速度相等时距离最远。

(3)由at0＝v0得t0＝＝2 s

由位移公式得x汽'＝a×3×22 m＝6 m

x自'＝v0t0＝6×2 m＝12 m

则Δx＝x自'－x汽'＝6 m。

拓展　画出例1情形中汽车和自行车的v－t图像，并由图像分析求解汽车追上自行车前两车的最大距离及汽车追上自行车时所用时间。

答案　见解析

解析　如图所示，两车距离最大时，由v－t图像可知Δx＝6 m，当汽车追上自行车时，由两者的v－t图像与t轴围成的面积相等，可知追上时所用时间为t＝4 s。

例2　(2024·成都市高一期中)汽车A以vA为4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB为10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a为2 m/s2。从B车刚刹车开始计时。求：

(1)A追上B前，A、B间的最远距离；

(2)汽车B运动的位移及A追上B所用的时间。

答案　(1)16 m　(2)25 m　8 s

解析　(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA

解得t＝3 s

此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m

汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m

故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m

(2)根据题意可知，汽车B从开始匀减速直到静止经历的时间t1＝＝5 s

运动的位移xB'＝＝25 m

汽车A在时间t1内运动的位移为xA'＝vAt1＝20 m

此时两车相距Δx＝xB'＋x0－xA'＝12 m

汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s

故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s。

初速度小者追初速度大者常见情形分析

 

二、初速度大者追初速度小者——能否追上及最小距离问题

例3　(2024·资阳市高一期末)一辆客车从静止开始以a为1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面x＝20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车。判断乘客能否追上这辆客车？若不能，二者间的最小距离为多少？

答案　见解析

解析　开始时，由于v人>v车，二者之间的距离先逐渐减小。

当v人＝v车时，乘客如果能追上就可以追上，如果追不上，此后v人<v车，二者之间距离逐渐增大。

由临界条件知，当v车＝v人时乘客如果能追上就可以追上。

即at＝v人

解得t＝6 s

x车＝at2＝×1×62 m＝18 m

x人＝v人t＝6×6 m＝36 m

如图所示

x人<x车＋x

故追不上

最小距离Δx＝(18＋20－36) m＝2 m。