第二章 专题强化5 追及相遇问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一物理必修第一册学习笔记（教科版）

该高中物理专题复习讲义围绕追及相遇问题，通过分类梳理初速度小者追大者、初速度大者追小者及有限制条件三类情境，结合v-t图像和对比表格呈现知识脉络，突出速度相等临界条件及位移关系的重难点，构建系统的解题框架。 讲义亮点在于例题与拓展结合的设计，如例1通过汽车追自行车情境，用v-t图像法分析最大距离，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。专题强化练包含多选、计算等分层题型，解题技巧归纳临界分析等方法，助力不同层次学生提升，为教师实施精准复习提供支持。

专题强化5　追及相遇问题 [学习目标]　1.进一步熟练运用匀变速直线运动的公式(重点)。2.会分析追及相遇问题中物体速度、位移的变化，会根据位移关系及速度关系列方程(难点)。 两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题。 一、初速度小者追初速度大者——最大距离问题 例1　一辆汽车停在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以恒定加速度a为3 m/s2开始行驶，恰在这时一人骑自行车以v0为6 m/s的速度匀速驶过，从后面超过汽车。 (1)求汽车启动后追上自行车所用时间及追上时汽车的速度大小； (2)汽车启动后，在追上自行车前，两者的距离如何变化？追上自行车前距离最远时两者速度有什么关系？ (3)求汽车追上自行车前两者的最大距离。 答案　(1)4 s　12 m/s　(2)见解析　(3)6 m 解析　(1)汽车追上自行车时，两者位移相等， x汽＝x自，即at2＝v0t 代入数据解得t＝4 s 由v＝at得，追上时汽车的速度大小v＝12 m/s (2)当v汽<v自时两者距离逐渐变大， 当v汽＝v自时两者距离最大， 当v汽>v自时两者距离逐渐变小，直至汽车追上并超过自行车。 即当两车速度相等时距离最远。 (3)由at0＝v0得t0＝＝2 s 由位移公式得x汽'＝a×3×22 m＝6 m x自'＝v0t0＝6×2 m＝12 m 则Δx＝x自'－x汽'＝6 m。 拓展　画出例1情形中汽车和自行车的v－t图像，并由图像分析求解汽车追上自行车前两车的最大距离及汽车追上自行车时所用时间。 答案　见解析 解析　如图所示，两车距离最大时，由v－t图像可知Δx＝6 m，当汽车追上自行车时，由两者的v－t图像与t轴围成的面积相等，可知追上时所用时间为t＝4 s。 例2　(2024·成都市高一期中)汽车A以vA为4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB为10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a为2 m/s2。从B车刚刹车开始计时。求： (1)A追上B前，A、B间的最远距离； (2)汽车B运动的位移及A追上B所用的时间。 答案　(1)16 m　(2)25 m　8 s 解析　(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA 解得t＝3 s 此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m 汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m 故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m (2)根据题意可知，汽车B从开始匀减速直到静止经历的时间t1＝＝5 s 运动的位移xB'＝＝25 m 汽车A在时间t1内运动的位移为xA'＝vAt1＝20 m 此时两车相距Δx＝xB'＋x0－xA'＝12 m 汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s 故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s。 初速度小者追初速度大者常见情形分析 情境图 常见v－t图像 匀加速追匀速 　　　　　 匀速追匀减速匀　　　　　加速追匀减速 注意：匀速(匀加速)追匀减速问题中需要对匀减速运动的物体是否已经停止进行讨论 t＝t0以前(v2<v1) 两物体距离增大 t＝t0时(v1＝v2) 两物体相距最远 t＝t0以后(v2>v1) 两物体距离减小 追及情况 只能追上一次 二、初速度大者追初速度小者——能否追上及最小距离问题 例3　(2024·资阳市高一期末)一辆客车从静止开始以a为1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面x＝20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车。判断乘客能否追上这辆客车？若不能，二者间的最小距离为多少？ 答案　见解析 解析　开始时，由于v人>v车，二者之间的距离先逐渐减小。 当v人＝v车时，乘客如果能追上就可以追上，如果追不上，此后v人<v车，二者之间距离逐渐增大。 由临界条件知，当v车＝v人时乘客如果能追上就可以追上。 即at＝v人 解得t＝6 s x车＝at2＝×1×62 m＝18 m x人＝v人t＝6×6 m＝36 m 如图所示 x人<x车＋x 故追不上 最小距离Δx＝(18＋20－36) m＝2 m。 拓展　若例3中x＝17 m，乘客能否追上这辆客车？ 答案　因x人>x车＋x，故在v车＝v人之前乘客就已追上这辆客车。 初速度大者追初速度小者的常见情形分析 情境图 常见v－t图像 　匀减速追匀速　匀速追匀加速 　匀减速追匀加速 t0时刻以前(v2>v1) 两物体距离减小 (甲未追上乙时) t0时刻(v2＝v1)Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次 若Δx<x0，追不上，有最小距离 若Δx>x0，相遇两次 三、有限制条件的追及问题 例4　一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s，要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车。 (1)判断在追赶过程中摩托车能一直加速吗？ (2)如果在3 min内摩托车能追上汽车，摩托车至少以多大加速度启动(计算结果保留两位有效数字)？ 答案　见解析 解析　(1)t0＝3 min＝180 s，假设摩托车在180 s内一直做匀加速直线运动，设追上汽车时，摩托车的速度为v。 由v汽t0＋1 000 m＝t0 代入数据得v≈51.1 m/s>30 m/s，超过了摩托车所能达到的最大速度，所以摩托车先做匀加速运动，速度达到最大值后做匀速运动。 (2)设摩托车加速时间为t1，加速度为a，3 min内摩托车恰好能追上汽车时，加速度最小， 则有at1＝v1＝30 m/s a＋v1(t0－t1)＝v汽t0＋1 000 m 代入数据得a≈0.56 m/s2。 说明：如果车辆有最大速度的限制，要注意车辆达到最大速度前后运动状态的不同。 拓展　例3中若客车在自行车前s'＝10 m处。则： (1)自行车能否追上客车？ (2)若能追上，经过多长时间二者相遇。 答案　见解析 解析　(1)法一：临界分析法 由临界判断，at＝v人，解得t＝6 s x人＝v人t＝6×6 m＝36 m，x车＝at2＝18 m x人>x车＋s'，故可以追上 法二：判别式法 由位移关系v人t＝s'＋at2 即6t＝t2＋10 Δ＝36－4××10>0，有两解 故相遇两次。 (2)由位移关系x人＝x车＋s' 即6t＝t2＋10 解得t1＝2 s，t2＝10 s。 分析追及相遇问题的解题技巧： (1)一个条件：即速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 (2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。 (3)常用解题方法有：临界分析法、数学解析法、v－t图像法。 专题强化练 [分值：60分] 　[1~5题，每题4分] 1. (多选)甲、乙两车在同一直道上从同一地点同时出发，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图所示，已知甲车由静止开始做匀加速直线运动，乙车做匀速直线运动，图线在5 s时相交，则在0~5 s内，下列说法正确的是(　　) A.前5 s内平均速度相同 B.甲车速度一直大于乙车速度 C.5 s末甲车和乙车相遇 D.t＝2.5 s时两车相距最远 答案　ACD 解析　前5 s内两车位移相同，根据可知，平均速度相同，故A正确；x－t图像斜率表示速度，故甲车速度先小于乙车速度，后大于乙车速度，故B错误；5 s末甲车和乙车处于同一位置，因此两车相遇，故C正确；对于甲车有x＝at2，代入数据解得a＝ m/s2＝1.6 m/s2，当两车共速时相距最远，故v＝ m/s＝at，解得t＝2.5 s，故D正确。 2. (2025·泸州市高一期末)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向运动，它们运动的v－t图像如图所示。下列判断正确的是(　　) A.乙车启动时，甲车静止 B.0~10 s内，两车间距逐渐增大 C.t＝10 s时，乙车正好追上甲车 D.乙车超过甲车后，两车会再次相遇 答案　B 解析　由题图可知，乙车启动时，甲车做匀速直线运动，故A错误；由于甲、乙从同一地点沿同一方向运动，0~10 s内，甲车速度一直大于乙车的速度，所以0~10 s内，两车间距逐渐增大，故B正确，C错误；根据v－t图像与横轴围成的面积表示位移，可知0~20 s内，乙车位移等于甲车位移，则在t＝20 s时，乙车正好追上甲车，追上后，由于乙车的速度一直大于甲车速度，则乙车超过甲车后，两车不会再次相遇，故D错误。 3. 如图所示，若运动员将足球以12 m/s的速度踢出，足球沿草地做加速度大小为2 m/s2的匀减速直线运动，踢出的同时运动员以恒定速度8 m/s去追足球，则运动员追上足球所需时间为(　　) A.2 s B.4 s C.6 s D.8 s 答案　B 解析　设足球的初速度为v0，运动员的速度为v，由v0t－at2＝vt，得t＝4 s，此时足球速度v'＝v0－at＝4 m/s，还未停止，符合实际情况，故运动员追上足球时间为4 s，B正确。 4.甲车以3 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动，乙车落后2 s在同一地点由静止出发，以4 m/s2的加速度做匀加速直线运动，两车速度方向相同，在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是(　　) A.18 m B.24 m C.22 m D.28 m 答案　B 解析　设甲车加速度为a1，乙车加速度为a2，由a1t＝a2(t－2 s)，得两车速度相等时所需时间t＝8 s，两车最大距离Δx＝a1t2－a2(t－2 s)2＝24 m。 5.(2025·攀枝花市高一期末)一辆汽车以54 km/h的速度在平直的公路上做匀速直线运动，在它的正前方有一辆自行车以25.2 km/h的速度同向匀速行驶，汽车驾驶员发现自行车后经0.4 s踩下刹车，汽车以大小为5 m/s2的加速度做匀减速直线运动。若汽车和自行车均可视为质点，要使汽车不碰上自行车，驾驶员发现自行车时汽车到自行车的距离至少为(　　) A.9.6 m B.6.4 m C.4.7 m D.2.8 m 答案　A 解析　设汽车减速时间为t，驾驶员反应时间为Δt，驾驶员发现自行车时汽车到自行车的距离为s。若汽车追上自行车时，二者速度刚好相等，则汽车恰好不会碰上自行车。此时二者的位移关系有s＋v自(t＋Δt)＝v汽Δt＋v汽t－at2，速度关系有v自＝v汽－at，联立解得s＝9.6 m，故选A。 6.(10分)(2025·眉山市高一期末)A、B两辆汽车在平直的公路上同向行驶。A车一直以vA＝20 m/s的速度做匀速直线运动。零时刻，B车在A车前L0＝84 m处，B车速度为v0＝4 m/s，且以加速度a1＝2 m/s2做匀加速直线运动。4 s后，B车改做加速度a2＝1 m/s2的匀加速直线运动。 (1)(4分)求4 s时，A、B两车之间的距离； (2)(6分)通过计算判断A车能否追上B车？若能，求两车相遇的时间，若不能，求两车之间的最小距离。 答案　(1)36 m　(2)不能，4 m 解析　(1)0~4 s内A车运动的距离为xA1＝vAt1＝80 m，B车运动的距离为xB1＝v0t1＋a1＝32 m，4 s时，A、B两车之间的距离为Δx1＝L0＋xB1－xA1＝36 m (2)4 s时，B车的速度为v1＝v0＋a1t1＝12 m/s，设再经过t2时间两车速度相等，则vA＝v1＋a2t2，解得t2＝8 s，在此时间内，A车运动的距离为xA2＝vAt2＝160 m，B车运动的距离为xB2＝v1t2＋a2＝128 m，由于Δx1＋xB2>xA2，所以A车追不上B车。12 s时两车距离最近，最近距离为Δx2＝Δx1＋xB2－xA2＝4 m。 　[7、8题，每题5分] 7. (多选)(2025·成都市高一期中)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则正确的是(　　) A.乙车做匀加速直线运动，加速度为10 m/s2 B.甲车2秒内行驶的距离为20 m C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝1 s D.在t＝0时，乙车在甲车前7.5 m 答案　BC 解析　根据v－t图像与t轴围成的面积表示位移，在1~3 s内，甲、乙两车位移相等，3 s时两车并排行驶，所以在t＝1 s时，甲、乙两车第一次并排行驶，故C正确；乙车做匀加速直线运动，加速度为a＝ m/s2＝5 m/s2，故A错误；0~1 s内，乙的位移比甲的大，而二者又在t＝1 s时并排行驶，1 s末乙的速度为15 m/s，1 s末甲的速度为10 m/s，所以t＝0时甲在乙前面，二者相距Δx＝ m＝7.5 m，故D错误；甲车2秒内行驶的距离为s＝×2×20 m＝20 m，故B正确。 8. (多选)(2025·乐山市高一期中)如图所示，一辆小汽车以20 m/s的速度刚好追上一辆以8 m/s的速度匀速骑行的自行车时，发现前方有危险，立即刹车使小汽车做匀减速直线运动，刹车时加速度的大小为5 m/s2。而自行车继续保持原来的速度行驶，若两车都可看作质点，对于两车的运动，下列判断正确的是(　　) A.在自行车追上小汽车之前，两车之间的最大距离为8 m B.在自行车追上小汽车之前，两车之间的最大距离为14.4 m C.经过4.8 s的时间，自行车将追上小汽车并反超 D.经过5.0 s的时间，自行车将追上小汽车并反超 答案　BD 解析　两车速度相等时，距离最大，则v1－at1＝v2，解得t1＝2.4 s，所以两车间的最大距离为xm＝v1t1－a－v2t1＝14.4 m，故A错误，B正确；小汽车停止运动的时间为t2＝＝4 s，此过程中小汽车和自行车的位移分别为x1＝t2＝40 m，x2＝v2t2＝32 m<x1，由此可知，小汽车停止运动后才被自行车追上，所以t3＝＝5.0 s，故C错误，D正确。 9.(12分)(2025·成都市高一期中)某路面上有两辆汽车沿着同一直线同向运动。t＝0时，乙车以10 m/s的速度匀速行驶，此时，甲车在乙车后方200 m处，从静止出发以a甲＝2 m/s2的加速度追赶。两车均可视为质点。求： (1)(3分)甲车经过多长时间追上乙车？ (2)(3分)甲车追上乙车之前，从开始运动起经过多长时间与乙车相距最远？最远相距是多少？ (3)(6分)当甲车刚追上乙车时，甲车立即刹车，以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，问两车再经过多长时间第二次相遇(设甲车可以从乙车旁经过而不发生碰撞)？ 答案　(1)20 s　(2)5 s　225 m　(3)20 s 解析　(1)甲车追上乙车时有v乙t＋x0＝a甲t2，代入数据解得t＝20 s(t＝－10 s舍去) (2)当两车速度相等时距离最大，有v乙＝a甲t1，得t1＝5 s，相距最大距离为Δx＝v乙t1－a甲＋x0＝225 m (3)两车相遇时甲车的速度为v1＝a甲t＝40 m/s，甲车减速到静止所用的时间为t静＝ s＝10 s，甲车减速到静止前进的距离为x1＝＝200 m，相同的时间内乙车前进的距离为x2＝v乙t静＝100 m<x1，所以甲车停止后乙车与甲车再次相遇，所用时间为t2＝＝20 s。 　[8分] 10.(多选)(2025·资阳市高一期中)甲、乙两物体同时同向运动，乙在甲前方x0处，甲做初速度为6 m/s，加速度为1 m/s2的匀加速直线运动，乙做初速度为零，加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，在运动过程中两个物体不会相碰，则(　　) A.若x0＝18 m，两物体相遇一次 B.若x0＝36 m，两物体相遇一次 C.若x0<18 m，两物体相遇两次 D.若x0＝54 m，两物体相遇一次 答案　AC 解析　已知v甲＝6 m/s，a甲＝1 m/s2，a乙＝2 m/s2，设t时刻两物体速度大小相等，则v甲＋a甲t＝a乙t，代入数据得t＝6 s，此时两物体的位移分别为x甲＝v甲t＋a甲t2＝54 m，x乙＝a乙t2＝36 m，两物体位移差Δx＝(54－36)m＝18 m，若x0＝18 m，两物体在速度相等时甲物体追上乙，此后乙的速度大于甲的速度，即相遇一次。若x0>18 m，两物体在速度相等时甲物体没有追上乙，此后乙的速度大于甲的速度，即两物体不会相遇。若x0<18 m，两物体在速度相等时甲物体追上并超过乙，由于此后乙的速度大于甲的速度，所以乙还会追上甲，即相遇两次，故选A、C 学科网（北京）股份有限公司 $