第28章 专题课堂(十) 圆中的解直角三角形-【原创新课堂•河南专版】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(人教版)

数学 九年级下册 人教版 原创新课堂 专题课堂(十)　圆中的解直角三角形 第二十八章　锐角三角函数 【例】如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，OM的长为0.3，求sin ∠CBD的值． C A 2 12或4 解：如图，连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则∠C＝∠E.∵AE为直径，且BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ABE＝90°，∴∠CBD＝∠EAB.在Rt△OAM中，OM＝0.3，OA＝1，∴sin ∠CBD＝sin ∠EAB＝ eq \f(OM,OA) ＝0.3 [对应训练] 1．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝ eq \f(1,2) ，则AB的长是( ) A．4　　　　B．2　　　　C．8　　　　D．4 eq \r(3) 2．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝ eq \f(4,5) ，⊙O过点B，C两点，且⊙O半径r＝ eq \r(10) ，则OA的长为( ) A．3或5 B．5 C．4或5 D．4 3．如图的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sin B的值是____． eq \f(2,3) 4．(2022·凉山州)如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos ∠CDB＝ eq \f(4,5) ，BD＝5，则⊙O的半径为____． eq \f(25,6) 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sin B＝ eq \f(1,4) ，则线段AC的长为____． 6．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos E＝____． eq \f(1,2) 7．(牡丹江中考)AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA.若△AOM中有一个角是30°，OM＝2 eq \r(3) ，则弦AB的长为___________． 8．(2022·贵港)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝ eq \f(1,2) ∠BDC. (1)求证：AF是⊙O的切线； (2)若BC＝6，sin B＝ eq \f(4,5) ，求⊙O的半径及OD的长． 解：(1)如图，作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AD＝ eq \f(1,2) AB，∴∠CAD＝∠ACD，∵∠BDC＝∠CAD＋∠ACD＝2∠CAD，又∵∠FAC＝ eq \f(1,2) ∠BDC，∴∠FAC＝∠CAB，∵⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，∴OH＝OE，又∵OH是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线　(2)如图，在△ABC中，可设AC＝4x，AB＝5x，∴(5x)2－(4x)2＝62，∴x＝2，则AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，∵Rt△AOE∽Rt△ABC，∴ eq \f(OE,AO) ＝ eq \f(BC,AB) ，即 eq \f(r,8－r) ＝ eq \f(6,10) ，∴r＝3，∴AE＝4，又∵AD＝5，∴DE＝1，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝ eq \r(10) 9．(2022·通辽)如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E. (1)求证：CD是圆的切线； (2)已知sin ∠OCD＝ eq \f(4,5) ，AB＝4 eq \r(5) ，求AC长度及阴影部分面积． 解：(1)连接OD，∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，∵∠AOB＝90°，∴∠A＋∠ABO＝90°，又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＋∠BDE＝90°，即OD⊥EC，∵OD是半径，∴CD是⊙O的切线　(2)在Rt△COD中，设OD＝4x，则OC＝5x，∴CD＝ eq \r(OC2－OD2) ＝3x＝AC，在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC＋AC＝8x，AB＝4 eq \r(5) ，由勾股定理得，OB2＋OA2＝AB2，即(4x)2＋(8x)2＝(4 eq \r(5) )2，解得x＝1或x＝－1(舍去)，∴AC＝CD＝3x＝3，OC＝5x＝5，OB＝OD＝4x＝4，∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，∴△COD∽△CEO，∴ eq \f(OC,EC) ＝ eq \f(CD,OC) ，即 eq \f(5,EC) ＝ eq \f(3,5) ，∴EC＝ eq \f(25,3) ，∴S阴影＝S△COE－S扇形＝ eq \f(1,2) × eq \f(25,3) ×4－ eq \f(90π×