第27章 专题课堂(五) “射影定理图”-【原创新课堂•河南专版】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(人教版)

数学 九年级下册 人教版 原创新课堂 专题课堂(五)　“射影定理图” 第二十七章　相 似 【例】(2022·陕西)如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P. (1)求证：∠CAB＝∠APB； (2)若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长． 解：(1)∵AM是⊙O的切线，∴∠BAM＝90°，∵∠CEA＝90°，∴AM∥CD，∴∠CDB＝∠APB，∵∠CAB＝∠CDB，∴∠CAB＝∠APB　 (2)连接AD，∵AB是直径，∴∠CDB＋∠ADC＝90°，∵∠CAB＋∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC＝8，∵AB＝10，∴BD＝6，∵∠BAD＋∠DAP＝90°，∠DAP＋∠APD＝90°，∴∠APB＝∠BAD，∵∠BDA＝∠BAP，∴△ADB∽△PAB，∴ eq \f(AB,PB) ＝ eq \f(BD,AB) ，∴PB＝ eq \f(AB2,BD) ＝ eq \f(50,3) ，∴DP＝ eq \f(50,3) －6＝ eq \f(32,3) [对应训练] 1．(2022·滨州)如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M.求证： (1)PD是⊙O的切线； (2)AM2＝OM·PM. 证明：(1)连接OB，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵AC是⊙O的直径，∴∠CBA＝90°，∴∠CAB＋∠OCB＝90°，∵∠CBD＝∠CAB，∴∠CBD＋∠OBC＝90°，∴∠OBD＝90°，∴PD是⊙O的切线 (2)由(1)知PD是⊙O的切线，直线PA与⊙O相切，∴PO垂直平分AB，∴∠AMP＝∠AMO＝90°，∴∠APM＋∠PAM＝90°，∵∠OAP＝90°，∴∠PAM＋∠OAM＝90°，∴∠APM＝∠OAM，∴△OAM∽△APM，∴ eq \f(AM,PM) ＝ eq \f(OM,AM) ，∴AM2＝OM·PM 2．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，AE⊥BD于点F，连接CF. (1)求证：AB＝CF； (2)若AB＝4 eq \r(2) ，求DF的长． 解：(1)延长AE，DC相交于点H，∵E为BC的中点，∴BE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠HCE，∠BAE＝∠H，∴△ABE≌△HCE(AAS)，∴AB＝CH，∴CD＝CH，∵BD⊥AE，∴∠DFH＝90°，∴CF＝ eq \f(1,2) DH＝CD＝AB　 (2)∵BE∥AD，BE＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \f(1,2) AD，∴△BEF∽△DAF，∴ eq \f(BE,AD) ＝ eq \f(BF,DF) ＝ eq \f(1,2) ，设BF＝a，则DF＝2a，∵∠AFB＝∠BAD＝90°，∠ABF＝∠DBA，∴△BFA∽△BAD，∴AB2＝BF·BD，∴(4 eq \r(2) )2＝a×3a，解得a＝ eq \f(4\r(6),3) (负值舍去)，∴DF＝2a＝ eq \f(8\r(6),3) $$