第27章 专题课堂(四) 相似三角形的基本模型(二)-【原创新课堂•河南专版】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(人教版)

数学 九年级下册 人教版 原创新课堂 专题课堂(四)　相似三角形的基本模型(二) 第二十七章　相 似 9 2 一、“母子型” 【例1】定义：如图①，若点P在△ABC的边AB上，且满足∠1＝∠2，则称点P为△ABC的“理想点”．如图②，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝ eq \r(2) ，AB＝2，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由． 解：点D是△ABC的“理想点”，理由如下：∵D是AB中点，AB＝2，∴AD＝BD＝1，AD·AB＝2，∵AC＝ eq \r(2) ，∴AC2＝2，∴AC2＝AD·AB，∴ eq \f(AC,AD) ＝ eq \f(AB,AC) ，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∴点D是△ABC的“理想点” [对应训练] 1．(宁夏中考)如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，以CD为直径的半圆O经过点A，点M是弦AC上一点，过点M作ME⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点F，且FA＝FM. (1)求证：直线BF与半圆O相切； (2)若已知AB＝3，则BD·BC的值为____． 解：(1)连接AO.∵FE⊥BC，∴∠CEM＝90°，∴∠C＋∠CME＝90°，∵FA＝FM，∴∠FAM＝∠FMA＝∠CME，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC，∴∠FAM＋∠OAC＝90°，即∠OAF＝90°，∴OA⊥AB，∵OA是半径，∴直线BF与半圆O相切　 (2)连接AD.由(1)知OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，即∠BAD＋∠DAO＝90°.又∵CD为半圆O的直径，∴∠DAC＝90°，即∠OAC＋∠DAO＝90°，∴∠BAD＝∠OAC＝∠BCA.又∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∴ eq \f(BA,BC) ＝ eq \f(BD,BA) ，即BD·BC＝BA2＝9.故答案为：9 二、“一线三等角型” 【例2】如图，在边长为9的等边△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则CE的长为____． [对应训练] 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B. (1)求证：AC·CD＝CP·BP； (2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长． 解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴ eq \f(BP,CD) ＝ eq \f(AB,CP) ，∴AB·CD＝CP·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP　 (2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴ eq \f(BA,BC) ＝ eq \f(BP,BA) .∵AB＝10，BC＝12，∴ eq \f(10,12) ＝ eq \f(BP,10) ，∴BP＝ eq \f(25,3) $$