第27章 专题课堂(三) 相似三角形的基本模型(一)-【原创新课堂•河南专版】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(人教版)

数学 九年级下册 人教版 原创新课堂 专题课堂(三)　相似三角形的基本模型(一) 第二十七章　相 似 一、“A”字型 【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC， eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(2,3) ，M为BC上一点，AM交DE于点N. (1)若AE＝4，求EC的长； (2)若M为BC的中点，S△ABC＝36，求S△ADN. 解：(1)∵DE∥BC，∴ eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(2,3) ，∵AE＝4，∴AC＝6，∴EC＝6－4＝2　(2)∵M为BC的中点，S△ABM＝ eq \f(1,2) S△ABC＝18，∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，∴ eq \f(S△ADN,S△ABM) ＝( eq \f(AD,AB) )2＝ eq \f(4,9) ，∴S△ADN＝8 [对应训练] 1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D. (1)求证：AE·BC＝BD·AC； (2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长． 解：(1)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠DEB，∴BD＝DE.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(DE,BC) ，∴ eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(BD,BC) ，∴AE·BC＝BD·AC　 (2)设△ABE中边AB上的高为h，∴ eq \f(S△ADE,S△BDE) ＝ eq \f(\f(1,2)AD·h,\f(1,2)BD·h) ＝ eq \f(AD,BD) ＝ eq \f(3,2) ，∵△ADE∽△ABC，∴ eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(AD,AB) ，∴ eq \f(6,BC) ＝ eq \f(3,5) ，∴BC＝10 二、“X”字型 【例2】如图，在▱ABCD中，E是AD上的一点，已知AE∶ED＝2∶1，AO＝4，求OC的长． 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△AOE∽△COB，∴ eq \f(AO,OC) ＝ eq \f(AE,BC) ，又∵AE∶ED＝2∶1，∴AE∶AD＝2∶3，又∵AD＝BC，∴AE∶BC＝2∶3，∴ eq \f(AO,OC) ＝ eq \f(2,3) ，又∵AO＝4，∴OC＝6 [对应训练] 2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，连接AE，FB，FB的延长线交AE于点M.求证： (1)△BEM∽△BFC； (2)CF2＝FB·ME. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，又∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠E＝∠F，又∵∠EBM＝∠FBC，∴△BEM∽△BFC　 (2)由(1)得△BEM∽△BFC，∴ eq \f(BE,BF) ＝ eq \f(ME,CF) ，∵BE＝CF，∴ eq \f(CF,FB) ＝ eq \f(ME,CF) ，即CF2＝FB·ME 三、旋转型 【例3】如图， eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(BC,DE) ＝ eq \f(AC,AE) ，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由． 解：图中共有4组相似三角形：①∵ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(BC,DE) ＝ eq \f(AC,AE) ，∴△ABC∽△ADE；②∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠EAC，又∵ eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(AD,AE) ，∴△BAD∽△CAE；③∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠ACB，∵∠AFE＝∠BFC，∴△AFE∽△BFC；④∵△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ECA，又∵∠AFB＝∠EFC，∴△ABF∽△ECF [对应训练] 3．(黄冈中考)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD. (1)求证：△ABC∽△DEC； (2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求CE的长． 解：(1)∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC (2)∵△ABC∽△DEC，∴ eq \f(S△ABC,S△DEC) ＝( eq \f(CB,CE) )2＝ eq \f(4,9) ，又∵BC＝6，∴CE＝9 四、垂直型 【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E. (1)求证：△ABD∽△CBE； (2)若BD＝3，BE＝2，求AC的长. 解：(1)∵AB＝AC，BD＝