第27章 专题课堂(六) 证比例式或等积式的技巧-【原创新课堂•河南专版】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(人教版)

数学 九年级下册 人教版 原创新课堂 专题课堂(六)　证比例式或等积式的技巧 第二十七章　相 似 一、构造平行线法 1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F.求证：AE·CF＝BF·EC. 证明：如图，过点C作CG∥AB交DF于点G，∴△GCF∽△DBF，△GCE∽△DAE，∴ eq \f(CF,BF) ＝ eq \f(CG,BD) ， eq \f(EC,AE) ＝ eq \f(CG,AD) ，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴ eq \f(CF,BF) ＝ eq \f(EC,AE) ，∴AE·CF＝BF·EC 二、三点定型法 2．如图，点P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，连接AP，M是AP的中点，过点M作AP的垂线交AB，AC于E，F两点，求证： eq \f(BP,CF) ＝ eq \f(BE,CP) . 证明：如图，连接PE，PF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，∵M是AP的中点，EF⊥AP，∴EF是线段AP的垂直平分线，∴EA＝EP，FA＝FP，在△EAF和△EPF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EA＝EP，,FA＝FP，,EF＝EF，)) ∴△EAF≌△EPF(SSS)，∴∠EPF＝∠EAF＝60°，∴∠BPE＋∠CPF＝120°，又∵∠CFP＋∠CPF＝120°，∴∠BPE＝∠CFP，又∴∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP，∴ eq \f(BP,CF) ＝ eq \f(BE,CP) 3．如图，△ABC中，∠BAC＝90°.M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于点D，交AB于点E.求证：AM2＝MD·ME. 证明：∵∠BAC＝90°，M为BC的中点，∴AM＝BM＝CM，∴∠B＝∠BAM，∵∠B＋∠C＝90°，∴∠BAM＋∠C＝90°，∵∠C＋∠D＝90°，∴∠BAM＝∠D，∵∠AME＝∠DMA，∴△AME∽△DMA，∴ eq \f(AM,DM) ＝ eq \f(ME,AM) ，∴AM2＝MD·ME 三、等线段代换法 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是垂线，点P在AD上，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.求证：BP2＝PE·PF. 证明：如图，连接PC，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD是BC的垂直平分线，∴PC＝PB，∴∠PBC＝∠PCB，∴∠PCE＝∠ABP.∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP，∴∠PCE＝∠PFC.又∵∠CPE＝∠EPC，∴△EPC∽△CPF，∴ eq \f(PC,PE) ＝ eq \f(PF,PC) ，∴PC2＝PE·PF.∵PC＝BP，∴BP2＝PE·PF 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，CD∥AB，AD∥BC，∴∠D＝∠DAE＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，∵∠E＝∠E，∴△EAC∽△ECB，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC·BE＝CE·BC，∴AC·BE＝CE·AD 四、等比代换法(找中间比) 6．如图，过▱ABCD的对角线AC上任一点P作一直线，分别交AB，BC，CD，DA所在直线于点E，F，G，H.求证：PE·PF＝PG·PH. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，∵CG∥AE，∴△PCG∽△PAE，∴ eq \f(PC,PA) ＝ eq \f(PG,PE) ，∵CF∥AH，∴△PCF∽△PAH，∴ eq \f(PC,PA) ＝ eq \f(PF,PH) ，∴ eq \f(PG,PE) ＝ eq \f(PF,PH) ，∴PE·PF＝PG·PH 五、等积代换法(找中间积) 7．如图，在△ABC中，BD，CE是高，EH⊥BC于点H，交BD于点G，交CA的延长线于点M.求证：HE2＝HG·MH. 证明：∵CE⊥AB，EH⊥BC，∴∠EHB＝∠EHC＝90°，∠BEC＝90°，∴∠EBH＋∠BEH＝90°，∠BEH＋∠CEH＝90°，∴∠EBH＝∠CEH，∵∠EHB＝∠EHC，∴△BHE∽△EHC，∴ eq \f(EH,CH) ＝ eq \f(BH,EH) ，∴EH2＝CH·BH，∵BD⊥AC，∴∠DBC＋∠BCD＝90°，又∵∠M＋∠HCM＝90°，∴∠DBC＝∠M，∠GHB＝∠MHC＝90°，∴△BHG∽△MHC，∴ eq \f(HG,CH) ＝ eq \f(BH,MH) ，∴HG·MH＝CH·BH，∴HE2＝HG·MH 六、连环相似问题 8．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N. (1)求证：△AMB∽△AND; (2)求证： eq \f(AM,AB)