第4讲 反比例函数与一次函数综合（考点导航+典例剖析+针对训练+巩固提升）-冲刺2024年数学中考复习专题讲义（全国通用）

第4讲 反比例函数与一次函数综合（原卷版） 第一部分 考点梳理 考点一：反比例函数和一次函数图象综合 （1）一次函数的图象是一条直线． ，从左到右直线上升；，从左到右直线下降． ，与y轴交于正半轴；，与y轴交于负半轴． （2）反比例函数的图象是双曲线． ，在第一、三象限；，在第二、四象限． 例：函数的图象与函数的图象交于，两点，则当或时，． 问题：比较一次函数和反比例函数值的大小． 解决方法：数形结合，函数值比大小，图象比高低，谁高谁大． 考点二：反比例函数的对称性 正比例函数与反比例函数图象的交点A和B关于原点对称，即． ∵，， ∴四边形ABCD为平行四边形． ∴ 一次函数与反比例函数图象的交点P和Q关于对称． 一次函数与反比例函数图象的交点P和Q关于对称． 考点三：平行和相等模型 第二部分 典例剖析+针对训练 考点一 反比例函数和一次函数图象综合 【典例1】（2023•泰安）一次函数y＝ax+b与反比例函数y（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【针对训练】 1．（2023•襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y的图象可能是（　　） A．B． C． D． 2．（2023•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（　　） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋•河东区期末）如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y1＝x﹣4与反比例函数y的图象交于A、B两点，已知点A的坐标为（3n，n）． （1）求反比例函数的解析式； （2）请求出不等式x﹣4的解集． 【针对训练】 1．（2023秋•中宁县期末）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣2，n）、B（3，﹣1）两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积； （3）根据图象直接写出y2＞y1的x的取值范围． 2．（2024•安徽模拟）如图，一次函数y＝kx+b和反比例函数图象交于A（n，2），B（﹣2，4）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 3．（2024•郑州模拟）如图所示，双曲线y（k≠0）的图象与一次函数yx﹣1的图象交于A（m，1），B（2，n）两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）设直线AB与x轴交于点C，若P为y轴正半轴上一点，当△APC的面积为3时，求点P的坐标． 考点二 反比例函数的对称性 【典例3】（2022秋•临县月考）如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于A，B两点，若A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则2x1y2﹣5x2y1的值为（　　） A．﹣3 B．5 C．6 D．7 【针对训练】 1．（2023秋•青山湖区期末）已知正比例函数y＝mx（m≠0）的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为（2，4），则它们的另一个交点坐标是（　　） A．（﹣2，4） B．（4，2） C．（2，﹣4） D．（﹣2，﹣4） 2．（2023秋•碑林区期末）正比例函数y1＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣3或x＞3 B．x＜﹣3或0＜x＜3 C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3 【典例4】（2023秋•惠城区期末）如图，正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，4）． （1）求出点B的坐标． （2）请根据图象直接写出不等式的解集． 考点三 反比例函数的平行模型和相等模型 【典例5】（1）问题情境：如图①，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）探究发现：如图②，点M、N在反比例函数y（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F．你发现MN与EF之间有着怎样的位置关系？说明你的理由． （3）应用发现：如图③，在平面直角坐标系中，函数y（x＞0，m是不为0的常数）的图象经过点A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连接AD，DC，CB与AB．已知AD＝BC，求直线AB的函数关系式． 【针对训练】 1．（2021秋•政和县期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x、y轴交于A、B两点，与反比例的图象交于C、D两点，分别过C、D两点作y、x轴的垂线，垂足为E、F，连接