第5讲 二次函数的图象与系数关系及二次函数与几何变换（知识梳理+典例剖析+变式训练+巩固提升）-）冲刺2024年数学中考复习专题讲义（全国通用）

第5讲 二次函数的图象与系数关系及二次函数与几何变换（原卷版） 第一部分 模块导航 模块一：二次函数的图象与系数关系 1．二次函数图象与系数的关系 （1）a决定抛物线的开口方向 当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．反之亦然． （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异” 当时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧． （3）的大小决定抛物线与y轴交点的位置 当时，抛物线与y轴的交点为原点；当时，交点在y轴的正半轴；当时，交点在y轴的负半轴． 2．二次函数的图象信息 （1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性． （3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性． （4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性． （5）根据抛物线的对称轴可得与的大小关系，可得的正负性． （6）根据抛物线的顶点，判断的大小． 模块二：二次函数的几何变换 1．二次函数图象的平移 平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”． 2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达． （1）关于x轴对称 关于x轴对称后，得到的解析式是． 关于x轴对称后，得到的解析式是． （2）关于轴对称 关于y轴对称后，得到的解析式是． 关于y轴对称后，得到的解析式是． （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是． 关于原点对称后，得到的解析式是． （4）关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是． 关于顶点对称后，得到的解析式是 3．二次函数图象的翻折 函数的图象可以由函数通过关于x轴的翻折变换得到． 具体规则为函数图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方． 第二部分 典例剖析+针对训练 模块一 二次函数的图象与系数的关系 【典例1】（2024•驿城区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论： ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③4a﹣2b+c＝0； ④方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根； ⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（2024•西湖区开学）已知B（3，3）、C（0，3）．抛物线y＝x2﹣2x+a+2与线段BC至少有一个交点，则a的取值范围是（　　） A．﹣2≤a≤1 B．﹣2≤a≤2 C．1≤a＜2 D．﹣2≤a＜1 2．（2024•陕西模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，给出以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③2a+b＝0；④4a+2b+c＜0；⑤当x＞0时，y随x的增大而增大，其中正确的是（　　） A．①②④ B．②③④⑤ C．①③④ D．①③⑤ 3．（2023秋•硚口区期末）当a≠b时，将（a，b），（b，a）两个点称为一对“关联的对称点”．若抛物线y＝﹣x2+x+c（c是常数）总存在一对“关联的对称点”，则c的取值范围是（　　） A．c＜2 B．c＜1 C．c＞2 D．c＞1 4．（2023秋•连云港期末）若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点A（2，m），B（n，﹣5）是关于x的“美好函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝4的右侧．有下列结论①4a+c＝0；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2），下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③b＜﹣2；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有　 　．（填序号） 模块二 二次函数的图像与几何变换 （一）二次函数的图像与平移变换 【典例2】（2024•台江区模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024•灞桥区二模）把抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则a是（　　） A．2 B． C． D． 2．（2024•龙湾区开学）将抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣7先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线的顶点坐标为 　 　． （二）二次函数的图像与旋转变换 【典例3】（2023秋•莱州市期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣1），且图象与y轴交于点（0，﹣9