第26章 专题课堂(一) 巧用抛物线的对称性解题-【原创新课堂•河南专版】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(华东师大版)

专题课堂(一)　巧用抛物线的对称性解题 第26章　二次函数 数学 九年级下册 华师版 原创新课堂 类型一、求对称点的坐标 【例1】如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(3，0)，Q两点关于它的对称轴直线x＝1对称，则Q点的坐标为________． 分析：直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可． (－1，0) [对应训练] 1．在二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表，则该抛物线的顶点坐标为_________，m＝____． (1，－2) －1 x －2 －1 0 1 2 3 4 y 7 2 －1 －2 m 2 7 2.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的三个顶点A，B，D均在抛物线y＝ax2－4ax＋3(a<0)上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为______． (4，3) 类型二、求二次函数的最值或待定系数 【例2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，求ac的值． 分析：设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质可得出B，C坐标，代入二次函数y＝ax2＋c中，即可求出a和c，从而求ac. [对应训练] 3．(2022·贺州)已知二次函数y＝2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 D 类型三、求二次函数的表达式 【例3】如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，求它对应的函数表达式． 分析：首先根据对称轴为直线x＝1，求出抛物线与x轴的另一个交点，由交点式可直接写出函数表达式． 解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为(3，0)，a＝－1，则抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，故函数表达式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3 [对应训练] 4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－2，8)，与x轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的函数表达式． 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－2，8)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－2，∵抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为(－4，0)，(0，0)，设抛物线表达式为y＝ax(x＋4)，把(－2，8)代入，解得a＝－2，∴抛物线表达式为y＝－2x(x＋4)，即y＝－2x2－8x 类型四、比较函数值的大小 【例4】已知二次函数y＝2(x－1)2＋m的图象上有三个点，坐标分别为A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y3>y1>y2 D．y3>y2>y1 分析：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1.根据点的横坐标距离对称轴的远近来判断点的纵坐标的大小． D [对应训练] 5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)与x轴分别交于(－1，0)，(5，0)两点，当自变量x＝1时，函数值为y1；当x＝3时，函数值为y2.下列结论正确的是( ) A.y1>y2 B．y1＝y2 C．y1<y2 D．不能确定 B 6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： 若A(m，y1)，B(m－1，y2)两点都在该函数的图象上，当m满足______时，y1<y2. 类型五、巧用抛物线的对称性解决其他问题 【例5】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根的和为____． 分析：由抛物线的对称轴为直线x＝1，可得出b＝－2a，再根据根与系数的关系即可得出关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根的和． 2 [对应训练] 7．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__________． －1＜x＜5 8．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－1，点C在抛物线上，且位于点A，B之间(点C不与点A，B重合).若△ABC的周长为m，四边形AOBC的周长为______．(用含m的式子表示) m＋2 9．(2022·泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－2，0)，B(0，－4)，其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C，如图①. (1)求二次函数的表达式； (2)若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N，如图②. ①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标； ②以MN为