大题强化及变式训练（15）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届大题强化训练及变式训练（15） 1．为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只） 药物 疾病 未患病 患病 合计 未服用 服用 合计 （1）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性； （2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为．若共选取次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望． 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 变式：甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了1000名消费者，得到下表： 满意 不满意 男 440 60 女 460 40 （1）能否有的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关； （2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用X表示不满意的人数，求X的分布列与数学期望. 附：，. 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 2．已知函数. （1）若函数的图象在处的切线与x轴平行，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 变式：已知函数，． （1）若函数在上单调递减，求a的取值范围： （2）若直线与的图象相切，求a的值． 3.已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； 变式：已知正项数列的前n项和为． （1）求数列的前n项和; （2）令，求的前9项之和． 4．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点. （1）求证：； （2）设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值. 变式：设抛物线，过焦点F的直线与C交于点A，B．当直线垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）已知点，直线，分别与C交于点C，D． ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值． 5．如图1，已知，，，，，. （1）求将六边形绕轴旋转半周（等同于四边形绕轴旋转一周）所围成的几何体的体积； （2）将平面绕旋转到平面，使得平面平面，求异面直线与所成的角的余弦值； （3）某“”可以近似看成，将图1中的线段、改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积. 变式：把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的动点，为上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）． （1）求证：当为的中点时，平面 （2）若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的取值范围． （3）求三棱锥的体积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届大题强化训练及变式训练（15） 1．为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只） 药物 疾病 未患病 患病 合计 未服用 服用 合计 （1）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性； （2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为．若共选取次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望． 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为药物对预防疾病有效果；（2）分布列见解析，期望为 【分析】（1）提出零假设为药物对预防疾病无效果，根据列联表计算出的值，结合临界值表可得出结论；（2）利用全概率公式计算出药物的治愈率，分析可知，利用二项分布列可得出随机变量的分布列，进而可得出的值. 【解析】（1）零假设为药物对预防疾病无效果， 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立， 即认为药物对预防疾病有效果． （2）设A表示药物的治愈率，表示对未服用过药物，表示服用过药物， 由题意可得，， 且，， ， 药物的治愈率，则， 所以，， ，，