第1章 习题课2 等比数列的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

习题课2　等比数列的性质 知识点　等比数列{an}的常用性质 1．若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq． 特例：若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则aman＝a． 2．an＝am·qn－m(m，n∈N＋)． 3．在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，取出的项按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列，公比为qk． 4．若数列{an}与{bn}是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{a}，等也是等比数列． 5．a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1． 角度一　等比数列中任意两项之间的关系 在等比数列{an}中： (1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n； (2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an． 解析：　设等比数列{an}的公比为q． (1)由得q＝． 再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32， 则an＝a3·qn－3＝32×()n－3＝()n－8＝， 所以n－8＝1，所以n＝9． (2)由a7＝a5·q2得q2＝． 因为an>0，所以q＝， 所以an＝a5·qn－5＝8×()n－5＝()n－8． 　　 等比数列的通项公式及变形的应用 (1)在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项． (2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项． 即时练1．在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为(　　) A．2　　　　　　 B． C．2或 D．－2或 C　[设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，q≠－1，化为2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或．故选C．] 即时练2．已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则等于(　　) A．16　　 B．8　　　　 C．4　　　　 D．2 C　[等比数列{an}中，设其公比为q(q≠0)，a3＝2，a4a6＝a3q·a3q3＝aq4＝4q4＝16，∴q4＝4． ∴＝＝q4＝4，故选C．] 角度二　等比数列中多项之间的关系 已知{an}为等比数列． (1)若{an}满足a2a4＝，求a1aa5； (2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解析：　(1)在等比数列{an}中， ∵a2a4＝，∴a＝a1a5＝a2a4＝，∴a1aa5＝． (2)由等比中项，化简条件得a＋2a6a8＋a＝49，即(a6＋a8)2＝49， ∵an>0，∴a6＋a8＝7． (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10． 利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．　　 即时练3．公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　[因为a3a11＝16，所以a＝16． 又因为an>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5．] 即时练4．已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________． 解析：　法一：因为{an}是等比数列， 所以a1a7＝a，a2a8＝a，a3a9＝a． 所以a·a·a＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50． 因为an>0，所以a4a5a6＝5． 法二：因为a1a2a3＝(a1a3)a2＝a·a2＝a＝5，所以a2＝． 因为a7a8a9＝(a7a9)a8＝a＝10，所以a8＝． 同理a4a5a6＝a＝＝＝＝5． 答案：　5 等比数列与等差数列的综合应用 (1)已知数列{3an}是等比数列，公比为q，则数列{an}(　　) A．是等差数列，公差为log3q B．是等差数列，公差为3q C．是等比数列，公比为log3q D．既不是等差数列，也不是等比数列 (2)三个数成等比数列，其积为64，如果第一个数与第三个数各减去1，则这三个数成等差数列，求这三个数． 解析：　(1)因为数列{3an}是等比数列，所以＝3an＋1－an＝q， 所以an＋1－an＝log3q(常数)，所以数列{an}是等差数列，公差为log3q． (2)因为三个数成等比数列， 设三个数为，a，aq，则×a×aq＝a3＝64， 所以a＝4，所以三个数为，4，4q， 第一个数与第三个数各减去1后三个数变为－1，4，4q－1， 则－1＋4q－1＝8，即2q2－5q＋2＝0， 解得q＝2或，所以这三个数为2，4，8或8，4，2． 答案：　(1)A [变式探究] 将本例(2)中的条件改为“有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80”，再求这四个数． 解析：　由题意，设这四个数分别为，b，bq，a， 则解得或所以这四个数分别为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8． 即时练5．(多选)已知a>0，b>0，若a与b的等差中项为M，等比中项为G，则下列结论正确的是(　　) A．M与G可能相等　　 B．M大于G C．M小于G D．M不小于G AD　[由于a>0，b>0时，≥，当且仅当a＝b时，等号成立．由a与b的等差中项为M＝，等比中项为G＝±，当a＝b，G>0时，M＝G；当a≠b时，M>G．] 1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　) A．±　 B．－　　　 C．　　　 D．± C　[根据等比数列的性质可知a1a5＝a⇒a5＝＝．故选C．] 2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 C　[当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．] 3．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是(　　) A． B． C．2 D．2 C　[奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则＝q5＝32，则q＝2．] 4．若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当＋取最小值时，数列{an}的公比是________． 解析：　设正项等比数列{an}的公比为q， 因为a1a5＝4，所以由等比数列的性质可得a2a4＝4， 因此＋≥2＝2， 当且仅当＝，即＝q2＝4，即q＝2(负值舍去)时，等号成立． 所以数列{an}的公比是2． 答案：　2 课时精练(十)　等比数列的性质 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则等于(　　) A．4　　 B．2　　　　 C．5　　　　 D． A　[因为anan＋1＝2n，所以an－1an＝2n－1(n≥2)，所以＝2(n≥2)， 数列{an}的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故＝22＝4．] 2．在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10等于(　　) A．6 B．2 C．2或6 D．－2 B　[由题意知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以a2<0，a18<0，故a10<0，所以a10＝－＝－2，因此a4·a16＋a10＝a＋a10＝2，故选B．] 3．在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于(　　) A． B． C．－ D．或－ C　[因为a4＝a2·q2，所以q2＝＝＝． 又因为a1<0，a2>0，所以q<0．所以q＝－．] 4．在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则的值为(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 B　[由a2a3a6a9a10＝(a2a10)·(a3a9)·a6＝a＝32＝25，得a6＝2， 则＝＝a6＝2．] 5．已知正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2a8＝6，a4＋a6＝5，则＝(　　) A． B． C． D． D　[在正项等比数列{an}中，a2·a8＝a4·a6，因为a2·a8＝6，a4＋a6＝5， 所以又an＋1<an，所以a4＝3，a6＝2，所以＝＝，故选D．] 6．(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是(　　) A．{a}是等比数列 B．{anan＋1}是等比数列 C．是等比数列 D．{lg|an|}是等比数列 ABC　[由{an}是等比数列可得＝q(q为定值，n>1)． A中，＝()2＝q2为常数，故A正确； B中，＝＝q2，故B正确； C中，＝＝为常数，故C正确； D中，不一定为常数，故D错误．] 7．设数列{an}中a1＝2，若等比数列{bn}满足an＋1＝anbn，且b1 010＝1，则a2 020＝________． 解析：　根据题意，数列{bn}满足an＋1＝anbn，即＝bn， 则有＝()·()·()…·＝b2 019·b2 018·b2 017…·b1， 而数列{bn}为等比数列，则b2 019·b2 018·b2 017…·b1＝(b1 010)2 019＝1， 则＝1，又由a1＝2，得a2 020＝2． 答案：　2 8．在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝________． 解析：　由a4·a7＝－512，得a3·a8＝－512． 由解得或(舍去)． 所以q＝ ＝－2． 所以a10＝a3q7＝－4×(－2)7＝512． 答案：　512 9．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值． 解析：　∵{an}为等比数列， ∴a1·a9＝a3·a7＝64． 又∵a3＋a7＝20， ∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4． ①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4， 此时a11＝a3q8＝4×42＝64． ②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝， 此时a11＝a3q8＝16×()2＝1． 10．已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 解析：　(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a＋2a3a5＋a＝36，即(a3＋a5)2＝36， 又∵an>0，∴a3＋a5＝6． (2)设等比数列{an}的公比为q， ∵a2－a5＝42，∴q≠1． 由已知，得 ∴解得 若G是a5，a7的等比中项， 则有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×()10＝9， ∴a5，a7的等比中项为±3． [能力提升] 11．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为(　　) A．2 B． C．3 D． D　[法一：依题意可设竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9， 可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝·＝．故选D． 法二：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)＝a＝27．所以a5＝．故选D．] 12．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于(　　) A．±2 B．±4 C．2 D．4 C　[∵T13＝4T9，∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，∴a10a11a12a13＝4． 又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2． 又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2．] 13．在等比数列{an}中，若a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝________． 解析：　∵{an}是等比数列，∴a7·a11＝a4·a14＝6， 又a4＋a14＝5，∴或 ∵＝q10，∴q10＝或q10＝． 而＝q10，∴＝或． 答案：　或 14．已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝17，a1a8＝－38，且a1＜a8． (1)求数列{an}的通项公式； (2)调整数列{an}的前三项a1，a2，a3的顺序，使它们成为等比数列{bn}的前三项，求{bn}的通项公式． 解析：　(1)由已知，得17＝a3＋a6＝a1＋a8， 又a1a8＝－38，a1＜a8，∴a1＝－2，a8＝19， ∴数列{an}的公差d＝3，∴an＝3n－5． (2)由(1)得a1＝－2，a2＝1，a3＝4．依题意可得数列{bn}的前三项为b1＝1，b2＝－2，b3＝4或b1＝4，b2＝－2，b3＝1． ①当等比数列{bn}的前三项为b1＝1，b2＝－2，b3＝4时，公比q＝－2，bn＝(－2)n－1； ②当等比数列{bn}的前三项为b1＝4，b2＝－2，b3＝1时，公比q＝－，bn＝． [拓展应用] 15．(多选)在数列{an}中，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是(　　) A．k不可能为0 B．“等差比数列”中的项不可能为0 C．等差数列一定是“等差比数列” D．等比数列一定是“等差比数列” BCD　[∵当k＝0时，根据“等差比数列”的定义，有＝0，即有an＋2－an＋1＝0，这与分母不为0矛盾，∴k≠0，故选项A正确； ∵当an＝n－1时，＝＝1为常数， ∴数列{an}为“等差比数列”，且a1＝0，故选项B错误； 又当数列{an}为非零常数列时，数列{an}既是等差数列又是等比数列，但an＋1－an＝0，此时数列{an}不是“等差比数列”，故选项C、D错误，故选BCD．] 16．已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若任意n∈N＋，都有bn≤bk成立，求正整数k的值． 解析：　(1)设{an}的公差为d，则d＝＝4， 所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N*)． 设cn＝an－bn，则{cn}为等比数列． c1＝a1－b1＝2－1＝1， c4＝a4－b4＝14－6＝8， 设{cn}的公比为q，则q3＝＝8，故q＝2． 则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1． 所以bn＝4n－2－2n－1(n∈N＋)． 故{bn}的通项公式为bn＝4n－2－2n－1(n∈N＋)． (2)由题意得，bk应为数列{bn}的最大项． 由bn＋1－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N＋)． 当n<3时，bn＋1－bn>0，bn<bn＋1， 即b1<b2<b3； 当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b3＝b4； 当n>3时，bn＋1－bn<0，bn>bn＋1，即b4>b5>b6>…， 所以k＝3或k＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $$