第1章 习题课1 等差数列性质的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

习题课1　等差数列性质的应用 应用一、由等差数列构造新等差数列 有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(　　) A．15　　 B．16　　　　 C．17　　　　 D．18 B　[易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6， 故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2， 所以通项公式为an＝12n－10， 所以12n－10≤190，解得n≤， 而n∈N＋，所以n的最大值为16．] 对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：an－an－1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数．　　 即时练1．已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________． 解析：　由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1．又a100＝302，b100＝399，所以解得1≤n≤25．25，故{cn}的项数为25． 答案：　12n－1　25 应用二、等差数列中任意两项之间的关系 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75． 解析：　法一：(利用an＝am＋(n－m)d) 设数列 {an}的公差为d， 则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d， 所以d＝＝＝， 所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24． 法二：(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，解得d＝4， 所以a75＝a60＋d＝24． 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)； (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)； (3)d＝(m，n∈N＋，且m≠n)．　　 即时练2．已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________． 解析：　法一：∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d， 则d＝＝＝2， ∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8． ∴b8＝2×8－8＝8． 法二：由＝＝d， 得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8． 答案：　8 应用三、等差数列中对称设项法的应用 已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这4个数． 解析：　设此四个数分别为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d． 由题意可得：a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝20，＝24． 解得a＝5，d＝±1． ∴这四个数为2，4，6，8或8，6，4，2． 常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d．　　 即时练3．已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 解析：　设等差数列的公差为d，则其前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d， 则 解得或 因为数列为递增数列，所以 所以等差数列的通项公式为an＝4n－1． 1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于(　　) A．3　　 B．－6　　　　 C．4　　　　 D．－3 B　[由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d， 所以d＝＝－6．] 2．在等差数列中，a3＋a5＝18，则a4＝(　　) A．9 B．6 C．3 D．1 A　[由a3＋a5＝18＝2a4得a4＝9． 故选A．] 3．在等差数列{an}中，a3＋a7＝4，则必有(　　) A．a5＝4 B．a6＝4 C．a5＝2 D．a6＝2 C　[因为a3＋a7＝2a5＝4，所以a5＝2．] 4．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，则a＋b＋c＝________． 解析：　法一：设这些数组成的等差数列为{an}，由已知得a1＝－1，a5＝7，则7＝－1＋(5－1)d，解得d＝2，故所求数列为－1，1，3，5，7．所以a＋b＋c＝9． 法二：在等差数列－1，a，b，c，7中，由等差中项的概念，得a＋c＝2b＝－1＋7＝6，所以b＝3，所以a＋b＋c＝9． 答案：　9 课时精练(五)　等差数列性质的应用 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．数列是等差数列，若a3＝5，＋＝，则a1·a5＝(　　) A． 　 B．9　　 　 C．10　 　 　D．20 B　[因为数列是等差数列，a3＝5，所以a1＋a5＝2a3＝10， 因为＋＝＝，所以a1·a5＝9， 故选B．] 2．已知等差数列中，a2、a8是2x2－16x－1＝0的两根，则－a5＝(　　) A．248 B．60 C．12 D．4 B　[对于方程2x2－16x－1＝0，Δ＝＋8>0， 由韦达定理可得a2＋a8＝＝8，故2a5＝a3＋a7＝a2＋a8＝8，则a5＝4， 所以－a5＝－a5＝82－4＝60． 故选B．] 3．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．1或2 D　[∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c， ∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0． ∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2．] 4．在等差数列{an}中，a1＋2a2＋3a3＋4a4＝100，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A．100 B．75 C．50 D．25 C　[由{an}是等差数列，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＝a1＋2(a1＋d)＋3(a1＋2d)＋4(a1＋3d)＝10a1＋20d＝100， 即a1＋2d＝a3＝10， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝50．故选C．] 5．若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于(　　) A．13 B．3－ C．3－ D．5－ B　[设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝5，am＝3， 所以d＝＝． 所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－．] 6．(多选)已知数列、都是公差不为0的等差数列，设cn＝an＋bn，dn＝anbn，则关于数列和，下列说法中正确的是(　　) A．数列一定是等差数列 B．数列一定不是等差数列 C．给定c1，c2可求出数列的通项公式 D．给定d1，d2可求出数列的通项公式 ABC　[数列、都是公差不为0的等差数列，设其公差分别为m1，m2，且均不为0， cn＋1－cn＝an＋1－an＋bn＋1－bn＝m1＋m2， 所以数列一定是等差数列，给定c1，c2可求出数列的通项公式，A，C选项正确； 设an＝m1n＋t1，bn＝m2n＋t2，m1m2≠0， dn＝＝m1m2n2＋n＋t1t2一定是一个关于n的二次函数，所以数列一定不是等差数列，所以B选项正确； 根据二次函数性质，仅仅给定d1，d2不能求出数列的通项公式，所以D选项错误． 故选ABC．] 7．在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________． 解析：　∵在等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16， ∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16， ∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4． 答案：　4 8．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________． 解析：　因为数列{an}，{bn}都是等差数列， 所以数列{an＋bn}也构成等差数列， 所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， 所以2×21＝7＋a5＋b5， 所以a5＋b5＝35． 答案：　35 9．在等差数列{an}中． (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a1＋a3＋a4＋a6＝34，a3·a4＝16，求公差d． 解析：　(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12． (2)由a1＋a3＋a4＋a6＝34， 得2(a3＋a4)＝34，即a3＋a4＝17， 由解得或 ∴d＝＝＝15或d＝＝＝－15． 10．三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于83，求这三个数． 解析：　依题意：设三个数为a，b，c，则有a＋b＋c＝15，b为等差中项，故a＋c＝2b， b＝5，a2＋b2＋c2＝83，∴a2＋c2＝58， 联立方程解得或 故这三个数分别为3，5，7或7，5，3． [能力提升] 11．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 C　[设公差为d， ∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120， ∴5a8＝120，a8＝24， ∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16．] 12．若a>0，b>0，a，b的等差中项是1，则的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[利用等差中项性质，得a＋b＝2×1， 由均值不等式得ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)， 所以ab≤1，≥1， 所以最小值为1． 故选A．] 13．在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若数列{an}中每相邻两项之间插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是________． 解析：　设新的等差数列的公差为d．由a1＝8，a5＝2． 得a3＝＝＝5，a2＝＝＝， 所以d＝＝＝－． 答案：　－ 14．已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列(d≠0)． (1)若a20＝30，求公差d； (2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围． 解析：　(1)a10＝1＋9＝10，a20＝10＋10d＝30，所以d＝2． (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)， 即a30＝10[(d＋)2＋]， 当d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈[，＋∞)． [拓展应用] 15．已知和是两个等差数列，且(1≤k≤5)是常数，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝________． 解析：　由于是常数，所以＝，即＝，所以b5＝64． 因为是等差数列，所以b3＝＝128． 答案：　128 16．已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n＋6，bn＝2n＋7(n∈N＋)．将集合{x|x＝an，n∈N＋}∪{x|x＝bn，n∈N＋}中的元素从小到大依次排列，构成新数列c1，c2，c3，…，cn，…． (1)求c1，c2，c3，c4的值； (2)证明：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； (3)求数列{cn}的通项公式． 解析：　(1)c1＝9，c2＝11，c3＝12，c4＝13． (2)证明：①任意n∈N＋，设a2n－1＝3(2n－1)＋6＝6n＋3＝bk＝2k＋7，则k＝3n－2，即a2n－1＝b3n－2； ②假设a2n＝6n＋6＝bk＝2k＋7⇔k＝3n－∉N＋，矛盾， ∴a2n∉{bn}，∴在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…． (3)先确定数列{an}和{bn}的公共项dk与dk＋1，再寻找dk与dk＋1之间元素存在的规律． ∵b3k－2＝2(3k－2)＋7＝6k＋3＝a2k－1， ∴设b3k－2＝a2k－1＝dk，则dk＋1＝b3k＋1＝a2k＋1＝6k＋9， ∵b3k－1＝6k＋5，a2k＝6k＋6，b3k＝6k＋7， ∴dk<b3k－1<a2k<b3k<dk＋1． ∴当k＝1时，依次有b1＝a1＝c1，b2＝c2，a2＝c3，b3＝c4，…， ∴cn＝其中n∈N＋． 学科网（北京）股份有限公司 $$