1.3.2 等比数列与指数函数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．3．2　等比数列与指数函数 [学习目标]　1． 体会等比数列与指数函数的关系．2．利用等比数列的性质解决一些简单问题． 知识点　等比数列的单调性 [问题导引]　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示：　由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)，当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 1． 若a1>0，q>0，c>0 (1)当q>1时，函数y＝cqx递增，数列an＝a1qn－1递增； (2)当0<q<1时，函数y＝cqx递减，数列an＝a1qn－1递减． 2． 若a1<0，q>0，c<0 (1)当q>1时，函数y＝cqx递减，数列an＝a1qn－1递减； (2)当0<q<1时，函数y＝cqx递增，数列an＝a1qn－1递增． 3．当等比数列的公比q＝1时，等比数列的各项都为常数a1，图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点． 4．当等比数列的公比q<0时，该数列是摆动数列． 已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 D　[当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当数列{an}是递增数列时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立； 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件．] (1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同．　　 即时练1．若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立； 反之：例如数列{(－1)n＋12n}，此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件．] 即时练2．等比数列{an}为递减数列，若a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则等于(　　) A．　　 B．　　　　 C．　　　　 D．6 A　[∵a7·a14＝a4·a17＝6，a4＋a17＝5， ∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根， 解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2， ∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2， ∴q13＝＝，则＝＝＝．] 应用一、等比数列的判定与证明 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N＋，证明：{an－1}是等比数列． 证明：　当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85， 解得a1＝－14， ∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1， ∴6an＝5an－1＋1，an－1＝(an－1－1)， 又a1－1＝－15， ∴{an－1}是首项为－15，公比为的等比数列． 证明数列是等比数列常用的方法 (1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列； (2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N＋)⇔{an}为等比数列． 即时练3．已知数列{an}满足a1＝1．若2an＋1＝3an＋1，证明：{an＋1}是等比数列． 证明：　法一：因为2an＋1＝3an＋1， 所以an＋1＝an＋，又a1＝1，所以an＋1≠0， ＝＝＝＝，所以＝． 所以{an＋1}是等比数列． 法二：因为2an＋1＝3an＋1， 所以2an＋1＋2＝3an＋1＋2， 即2an＋1＋2＝3an＋3， 所以2(an＋1＋1)＝3(an＋1)， 又a1＝1，所以an＋1≠0，所以＝． 所以{an＋1}是以为公比的等比数列． 应用二、等比数列中项的设法 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． 解析：　法一：设前三个数分别为，a，aq，则·a·aq＝216， 所以a3＝216．所以a＝6． 因此前三个数为，6，6q． 由题意知第4个数为12q－6． 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝． 故所求的四个数为9，6，4，2． 法二：设后三个数为4－d，4，4＋d， 则第一个数为(4－d)2， 由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6．所以d＝－2． 故所求的四个数为9，6，4，2． 几个数成等比数列的设法 (1)三个数成等比数列设为，a，aq． 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，，a，aq，aq2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3． 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，，，aq，aq3，aq5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3．　　 即时练4．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________． 解析：　设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 即整理得解得a＝3，q＝2． 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45． 答案：　45 1．在数列{an}中，如果an＝32－n(n＝1，2，3，…)，那么这个数列是(　　) A．公比为2的等比数列 B．公差为3的等差数列 C．首项为3的等比数列 D．首项为3的等差数列 C　[因为an＝32－n(n＝1，2，3，…)，所以a1＝3，a2＝1，an－1＝33－n(n≥2)，则有＝＝(n≥2)，所以{an}为等比数列，且公比q＝，首项a1＝3．] 2．等比数列{an}中，a2＝3，a7a10＝36，则a15等于(　　) A．12　　 B．6　　　　 C．－12　　　　 D．－6 A　[由a2a15＝a7a10，得a15＝＝＝12，故选A．] 3．设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[设等比数列{an}的公比为q，由a1<a2，可得a1(q－1)>0，解得或此时数列{an}不一定是递增数列； 若数列{an}为递增数列，可得或 所以“a1<a2”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．] 4．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于(　　) A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n A　[设公比为q，则a1q4＝－8a1q， 又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2， 又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0， 从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1．] 5．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝an(n∈N＋)，则a6＝________． 解析：　∵2an＋1＝an，a1＝2，∴＝，∴{an}是等比数列，公比q＝． ∴a6＝a1q5＝2×()5＝． 答案：　 课时精练(九)　等比数列与指数函数 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 D　[由公比q<0可知，该等比数列是摆动数列．] 2．在数列{an}中，对任意n∈N＋，都有an＋1－2an＝0(an≠0)，则等于(　　) A．1　 B． 　　　 C．　　 　 D． D　[由an＋1－2an＝0知an＋1＝2an，故{an}是等比数列，且q＝2，则＝＝＝．] 3．已知数列{an}对任意的n≥2且n∈N＋，满足a＝an－1an＋1，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n B．an＝2n－1 C．an＝n D．无法确定 B　[由题意可知数列{an}是等比数列，首项a1＝1，公比q＝2，所以an＝2n－1．] 4．若正项数列{an}满足a1＝2，a－3an＋1an－4a＝0，则数列{an}的通项公式an等于(　　) A．22n－1 B．2n C．22n＋1 D．22n－3 A　[由a－3an＋1an－4a＝0， 得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0． 又{an}是正项数列，所以an＋1－4an＝0，＝4． 由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项， 4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1．] 5．已知等比数列{an}的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若q<0，则等比数列{an}为摆动数列，由于等比数列{an}为递减数列，则q>0． 若a1>0，则an＝a1qn－1>0，由an＋1<an，所以q<1； 所以a1>0，等比数列{an}为递减数列⇔0<q<1， 所以若a1>0，“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的必要不充分条件．] 6．(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0．则下列结论正确的是(　　) A．0<q<1 B．a7>1 C．a8>1 D．Tn的最大项为T7 ABD　[∵a1>1，a7a8>1，<0， ∴a7>1，0<a8<1， ∴A正确；B正确；C错误；T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确．] 7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an，则an＝________． 解析：　因为an＋1＝3an且a1＝2，所以＝3，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＝2×3n－1． 答案：　2×3n－1 8．等比数列{an}不具有单调性，且a5是a4和3a3的等差中项，则数列{an}的公比q＝_________． 解析：　∵a5是a4和3a3的等差中项，∴2a5＝a4＋3a3，得2a1q4＝a1q3＋3a1q2，解得q＝或q＝－1，又等比数列{an}不具有单调性，故q＝－1． 答案：　－1 9．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N＋)，求证：{bn}是等比数列． 证明：　∵an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，∴bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn， 又∵b1＝a1＋1＝2， ∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． 10．有四个数，前三个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19，求这四个数． 解析：　由于前三个数成等差数列，且它们的和为12，则第二个数为4， 设前三个数分别为4－d，4，4＋d，由于后三个数成等比数列，则第四个数为， 因为后三个数之和为19，则4＋＋＝19，整理得d2＋12d－28＝0，解得d＝2或d＝－14． 若d＝2，则这四个数分别为2，4，6，9； 若d＝－14，则这四个数分别为18，4，－10，25． 因此，这四个数分别为2，4，6，9或18，4，－10，25． [能力提升] 11．在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足(　　) A．q>1 B．q<1 C．0<q<1 D．q<0 C　[先证必要性： ∵a1<0，且{an}是递增数列， ∴an<0，即q＞0，且＝＝q<1，则此时公比q满足0＜q＜1； 再证充分性： ∵a1<0，0<q<1，∴an<0， ∴＝＝q<1，即an＋1>an，则{an}是递增数列， 综上，{an}是递增数列的充要条件是公比q满足0＜q＜1．] 12．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________． 解析：　设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28，28q石， ∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或． 又0<q<1，∴q＝． 答案：　 13．已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为________． 解析：　因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列， 所以解得a1＝16，q＝， 所以an＝16×()n－1＝25－n， 所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝2， 所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1 024． 答案：　1 024 14．已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列． 证明：　由已知，得2a2＝a1＋a3，① a＝a2·a4，② ＝＋．③ 由③得＝，∴a4＝．④ 由①得a2＝．⑤ 将④⑤代入②，得a＝·． ∴a3＝，即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)．化简，得a＝a1·a5． 又a1，a3，a5均不为0，∴a1，a3，a5成等比数列． [拓展应用] 15．等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，则q等于(　　) A．－　 B．　　　 C．－　　　 D． C　[∵{an}中的项必然有正有负，∴q<0．又|q|>1，∴q<－1． 由此可得{an}的连续四项为－24，36，－54，81．∴q＝－．] 16．设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 解析：　(1)设数列{an}的公比为q． 由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1． 由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2， 解得q＝或(舍去)， 所以an＝8×()n－1＝24－n，n∈N＋． (2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n， 由bn＞bn＋1， 得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n， 即λ＜n＋1， 所以λ＜(n＋1)min＝2， 故实数λ的取值范围为(－∞，2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$