1.3.2等比数列与指数函数教学设计-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 课题 1.3.2等比数列与指数函数 教学目标 1. 按照等差数列的研究路径，利用具体实例操作，让学生经历从特殊到一般的逻辑推导过程，体会等比数列与指数函数的关系。 2. 通过信息技术展示图象的变化，引导学生发现等比数列的增减性，发展学生的数学直观想象的数学核心素养。 教学内容 教学重点： 从图象和解析式来认识等比数列与指数函数的关系 教学难点： 利用信息技术展示让学生直观理解等比数列的增减性 教学过程 （一）类比旧知，引出课题 引言：同学们，我们是如何研究等差数列的？类比等差数列的研究路径，我们已经推导了等比数列的通项公式，通项公式是什么？接下来应该研究什么呢？ 师生活动：教师借助思维导图带领学生共同经历等差数列的研究过程，类比等差数列，导入新知课题。 设计意图：通过复习等差数列，让学生感受到研究数列的统一路径，使得接下来的学习水到渠成，也为如何继续研究等比数列指明方向。 （二）信息技术引领，探索新知 师生活动：等比数列的通项公式为，类比等差数列，将通项公式中的正整数自变量转换为实数自变量,得到函数,教师借助GGB画出函数图象，让学生观察图象，从图形的直观中发现问题并分析问题。 问题1：当函数的自变量取正整数值时，图象发生了什么变化？ （教师通过对取1、2、3、4,在函数图象上描出几个特殊点，给学生直观感受） 追问1：从图象中能发现等比数列对应的点都在函数的图象上，那函数上的点都是数列所对应的点吗？ 追问2：可以借助函数的图象来研究数列的性质，你能准确描述数列的单调性？ 追问3：从函数与数列的关系出发，等比数列的单调性受什么因素的影响？ 设计意图：通过两次转换和信息技术的辅助，教师直观地体现等比数列与指数函数的共性和差异，学生从图象中认识了两者的关系，提高学生的直观想象的数学核心素养。 师生活动：给出三个通项公式分别为，的等比数列，留给学生时间自己动手作图，观察数列的单调性。教师在学生思考后，展示已经用GGB做好的相应图象，并提出问题。 问题2：观察和两个通项公式和它们的图象，能发现数列的单调性的什么规律？ 追问1：观察和两个通项公式和它们的图象，能发现数列的单调性的什么规律？ 追问2：观察这四个特殊的等比数列的图象和解析式，你能得出关于等比数列单调性的一般结论？ （教师对学生给出的一般性的结论进行完善，用表格的形式展现出来，一目了然） 设计意图：从图象的比较中发现首项和公比对等比数列单调性的影响，进一步用控制变量的方法分析解析式，让学生感受形的直观，数的严谨，过程中渗透特殊到一般的数学思想方法，也让学生通过实际操作，体验发现“等比数列单调性”的过程，从而加深对数列研究方法的理解。 问题3：等比数列对公比有什么要求？上述表格还有什么要补充的？ 追问1：当公比等于1时，你能描出此时等比数列的图象？此时的图象能否借助指数函数的图象来研究？ 追问2：公比等于1的等比数列是常数列，也是等差数列，那么常数列一定既是等差数列又是等比数列吗？ 追问3：当公比小于0时，你能描出此时等比数列的图象？此时的图象能否借助指数函数的图象来研究？ （举出一个公比小于0的一个等比数列，教师继续借助GGB描出此时的散点图，同时完善表格） 设计意图：充分利用信息技术展示图象变化，有助于学生直观理解等比数列的增减性；同时对公比进行分类讨论，提升学生的分析能力，培养严谨的数学思维。 （3） 典例辨析，强化应用 公比大于0且不等于1的等比数列的通项公式可以借助函数来研究性质，且数列的点都落在函数的图象上，则对于这类数列的通项我们可以统一表示为，其中. 问题4：例1：我们知道通项公式为一次函数的数列是等差数列，类比等差，如果一个数列的通项公式为，其中均为非零常数,那么它是等比数列吗？ 师生活动：引导学生利用等比数列的定义证明数列为等比数列，并观察通项公式形式特征。 设计意图：通过逆向思考问题的方式，开拓学生的思维，给出判断一个数列是否为等比数列的一个方法。 问题5：例2：已知数列的通项公式为数列的通项公式为,那么数列是等比数列吗？ 变式1：上述的结论具有一般性吗？特殊地，若是非零常数，那么数列是等比数列吗？ 变式2：数列是等比数列吗？ 设计意图：类比等差性质进行推导，以此丰富学生对等比数列和等差数列的认识，同时加深学生对特殊到一般的数学思想方法的认识。 练习：已知、是项数相同的数列，若数列是公差为的等差数列，数列满足，证明：数列是等比数列. 师生活动：这个练习是借助指数的运算性质将等差数列和等比数列联系起来，请同学们类比此题，借助对数的运算性质同样将等差数列和等比数列联系起来。 设计意图：让学生在理解指数、对数运算性质的基础上，进一步将等差数列和等比数列联系起来，并让学生发挥他们的主动性，自主设计题目，培养学生的创新意识。 （4） 课堂小结，凝练升华 师生活动：对本节课的内容进行梳理，从四个具体实例到一般的结论，从图象和解析式两个方面，通过两次转换将等比数列和指数函数联系起来，分类讨论了数列的单调性并引导学生发现下一节将研究等比数列的求和公式。 设计意图：通过思维导图，清晰展示主要内容和数学思想方法，站在单元主题的思想，类比等差数列，指明数学学习是一个连续的过程。 (5） 课后作业 必做题： 教材第30页练习第1、2、3题 选做题：教材第35页第6题 学科网（北京）股份有限公司 $$