1.3.1 等比数列及其通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．3　等比数列 1．3．1　等比数列及其通项公式 [学习目标]　1．通过实例理解等比数列的概念．2．掌握等比中项的概念并会应用．3．掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．4．灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 知识点一　等比数列的定义 [问题导引]　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． ①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98． ②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； ③－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，，－，，…； 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示：　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于①我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于②＝，…；对于③＝－，…；也有相同的取值规律． 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． (1)1，，，，，…； (2)10，10，10，10，10，…； (3)，()2，()3，()4，…； (4)1，0，1，0，1，0，…； (5)1，－4，16，－64，256，…． 解析：　(1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为1；(3)是等比数列，公比为；(4)不是等比数列；(5)是等比数列，公比为－4． 判断一个数列是否为等比数列的方法 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．　　 即时练1．以下数列中，能判定数列是等比数列的有(　　) ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋． A．1个　 B．2个　　　 C．3个　　　 D．4个 A　[①数列不符合等比数列的定义，不是等比数列； ②前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； ③当a＝0时，不是等比数列； ④该数列符合等比数列的定义，是等比数列．] 知识点二　等比数列的通项公式 [问题导引]　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N＋且n≥2)． 法一：an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 法二：a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． 一般地，如果数列{an}的首项为a1，公比为q，那么等比数列的通项公式为an＝a1qn－1． 在等比数列{an}中， (1)若a1＝3，q＝－3，求an； (2)若a2＝，a6＝8，求q； (3)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an． 解析：　(1)∵a1＝3，q＝－3，{an}为等比数列， ∴an＝a1·qn－1＝3·(－3)n－1＝－(－3)n． (2)法一：∵{an}为等比数列，设公比为q， ∴　将得q4＝16，∴q＝±2． 法二：∵{an}为等比数列，设公比为q， 又a6＝a2·q4，∴q4＝＝16，∴q＝±2． (3)∵ 由得＝，解得q＝或q＝2． 当q＝时，a1＝－16， 当q＝2时，a1＝1， ∴an＝－16·()n－1＝－25－n或an＝2n－1． 等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　　 即时练2．已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 020等于(　　) A．2 017 B．2 018 　　 C．2 019　　 D．2 020 C　[由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝3n－1，则log3a2 020＝log332 019＝2 019．] 即时练3．若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是(　　) A．0 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 C　[设首项为a1，公比为q，显然a1q≠0．由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2．] 即时练4．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 D　[因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7．] 知识点三　等比中项 [问题导引]　我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示：　不能成立，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项．若1，x，4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数． 在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项． (1)若三个实数a，b，c成等比数列，其中a＝3－，c＝3＋，则b＝(　　) A．2　　 B．－2　　　　 C．±2　　　　 D．4 (2)设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：　(1)三个实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac＝(3－)(3＋)＝9－5＝4，则b＝±2． (2)因为a1＝9d，an＝a1＋(n－1)d， 所以an＝(n＋8)d， 又因为a＝a1·a2k， 所以[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d， 解得k＝－2(舍去)或k＝4． 答案：　(1)C　(2)B 1．在等比数列{an}中，任取相邻的三项，an－1，an，an＋1，则an是an＋1与an－1的等比中项，即a＝an－1·an＋1； 2．a，G，b成等比数列是G2＝ab的充分不必要条件； 3．等比数列中的任一项(除首、末两项)都是数列中距该“距离”相等的两项的等比中项，即a＝an－k·an＋k(n>k)． 即时练5．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为(　　) A．± B． C．1 D．±1 D　[因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列， 所以a＝＝2，b＝±＝±2， 所以的值为±1， 故选D．] 即时练6．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________． 解析：　由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)， 解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6， 所以q＝＝＝， 所以an＝4×． 答案：　4× 1．下列数列为等比数列的是(　　) A．0，0，0，0，… B．22，42，62，82，… C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，… D．，，，，… D　[A选项中，由于等比数列中的各项都不能为0，所以该数列不是等比数列；B选项中，≠，所以该数列不是等比数列；C选项中，当q＝1时，数列为0，0，0，0，…，不是等比数列；D选项中的数列是首项为，公比为的等比数列，故选D．] 2．等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B　[∵＝·，∴＝，即＝， ∴n－1＝3，∴n＝4．] 3．(多选)已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于(　　) A．6 B．－6 C．－12 D．12 AB　[∵a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，∴ab＝±6．] 4．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项与第2项分别为(　　) A．2和8 B．6和8 C．8和10 D．和8 D　[设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么a1q2＝12，①　a1q3＝18，②　由②÷①可得q＝，③　把③代入①可得a1＝，∴a2＝a1q＝8．] 5．已知数列{an}中，an＋1＝2an，且a3＝12，则a1＝________． 解析：　因为12＝a3＝2a2，所以a2＝6． 因为6＝a2＝2a1，所以a1＝3． 答案：　3 课时精练(八)　等比数列及其通项公式 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．数列1，－，，－，，…的一个通项公式为(　　) A． (－)n－1　　　　 B．(－)n C．(－1)n()n－1 D．(－1)n＋1()n－1 D　[根据数列可知，该数列是一个以1为首项，－为公比的等比数列，所以该数列的通项公式为1×(－)n－1＝(－1)2×(－1)n－1×()n－1 ＝(－1)n＋1×()n－1．] 2．公比q＝2的等比数列{an}满足a3＋a5＝4，则a4＋a6＝(　　) A．8　　 B．10　　　　 C．12　　　　D．16 A　[公比q＝2的等比数列{an}满足a3＋a5＝4，则a4＋a6＝q(a3＋a5)＝2×4＝8．] 3．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(　　) A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32 C　[由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝＝32．] 4．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为(　　) A．108 B．54 C．36 D．18 B　[因为an＋1＝3an， 所以数列{an}是公比为3的等比数列， 则a4＝33a1＝54．] 5．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于(　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 A　[由x，3x＋3，6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)， 解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)，第2项为－6． 第3项为－12，公比为＝2， 故数列的第4项为－24．] 6．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 B　[∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号， ∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9．] 7．若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________． 解析：　根据题意， 解得或 答案：　1或－2 8．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________． 解析：　∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2． 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1 ＝(－2)n； 当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n． 答案：　(－2)n或－2n 9．在等比数列{an}中a3＝32，a5＝8， (1)求数列{an}的通项公式an； (2)若an＝，求n． 解析：　(1)因为a5＝a3q2， 所以q2＝＝．所以q＝±． 当q＝时，an＝a3qn－3＝32×()n－3＝28－n； 当q＝－时，an＝a3qn－3 ＝32×(－)n－3＝(－1)n＋1·28－n． 所以an＝28－n或an＝(－1)n＋1·28－n． (2)当an＝时，28－n＝或32×(－)n－3＝， 解得n＝9． 10．在等比数列{an}中． (1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an； (2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式． 解析：　(1)∵＝＝q4＝4， ∴q2＝2，又q>0，∴q＝， ∴an＝a3·qn－3＝4·()n－3＝2(n∈N＋)． (2)∵a3＝a1·q2，即8＝2q2， ∴q2＝4，∴q＝±2． 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n， 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1 ＝(－1)n－12n， ∴数列{an}的公比为2或－2， 对应的通项公式分别为an＝2n或an＝ (－1)n－12n． [能力提升] 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[因为a，b，c是△ABC的三边，所以a，b，c均不为0， 则由b2＝ac，可得＝，所以a，b，c成等比数列， 反之：当a，b，c成等比数列，可得b2＝ac， 所以“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件．] 12．已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是(　　) A．8 B． C．8或2 D．8或 D　[不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1<x<6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4， 若数列前3项为1，2，4，则第4项为8，若数列前3项为4，2，1，则第4项为．] 13．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1, ＝a11，则k＝________． 解析：　＝a1q＝a1q＝a1q10，∵a1>0，q≠1，∴＝10，∴k＝21． 答案：　21 14．在等比数列{an}中． (1)已知a3＝2，a5＝8，求a7； (2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an． 解析：　(1)因为＝＝q2＝＝4，所以q2＝4， 所以a7＝a5q2＝8×4＝32． (2)a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，a5－a1＝a1(q4－1)＝15，所以q2－1＝3， 所以q2＝4， 所以a1＝1，q＝±2， 所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1． [拓展应用] 15．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________． 解析：　设公差为d， 由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，① 由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列， 得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，解得d＝3或d＝0，② 当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1．由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275． 当d＝0时，an＝8，a92＝8． 答案：　275或8 16．在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列{an}，{bn}的通项公式． 解析：　选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d， 联立解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1． 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 联立解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1． 选条件③： 因为S3＝9， 所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋7d＝8a1d， 联立解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1． 学科网（北京）股份有限公司 $$