1.2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．2．3　等差数列的前n项和 [学习目标]　1．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 第1课时　等差数列的前n项和公式 知识点　等差数列的前n项和公式 [问题导引]　对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d． 提示：　倒序相加法 ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 在等差数列{an}中： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d． 解析：　(1)解得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85． (2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5．∴a8＝39，d＝5． 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．　　 即时练1．在等差数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝7，求S9； (2)a3＋a15＝40，求S17； (3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d． 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2． 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81． (2)S17＝＝＝＝340． (3)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15． 又a15＝＋(15－1)d＝－，所以d＝－， 所以n＝15，d＝－． 应用一、利用数列前n项和公式判断等差数列 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 解析：　当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5． 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4， 所以数列{an}是等差数列． [变式探究] 把本例中的“Sn＝2n2－3n”改为“Sn＝2n2－3n－1”，如何求解？ 解析：　∵Sn＝2n2－3n－1，① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2， 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1，② ①－②得an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5， 经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立， 故an＝ 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列． 由Sn求通项公式an的步骤 (1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1． (2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1． (3)验证a1与an的关系 ①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1， ②若a1不适合an，则an＝ 即时练2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 解析：　当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n． 又a1＝1不满足an＝2n， ∴数列{an}的通项公式是an＝ ∵a2－a1＝4－1＝3≠2，∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列． 应用二、求{|an|}的前n项和 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋，满足a1＋a2＝10，S5＝40． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn． 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10， S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8， 所以所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2． (2)令cn＝13－an＝11－2n， bn＝|cn|＝|11－2n|＝ 设数列{cn}的前n项和为Qn， 则Qn＝－n2＋10n． 当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n． 当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50． 数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略 (1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解； (2)等差数列{an}中，a1>0，d<0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理； (3)等差数列{an}中，a1<0，d>0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理． 即时练3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|的值为(　　) A．61　　 B．62　　　　 C．65　　　　 D．67 D　[当n＝1时，S1＝a1＝－2．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋1)－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5， 所以an＝ 由通项公式得a1<a2<0<a3<a4<…<a10， 所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝102－4×10＋1－2×(－3)＝67．] 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N＋，则{an}的前n项和Sn等于(　　) A．－n2＋　　　 B．－n2－ C．n2＋ D．n2－ A　[∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1， ∴Sn＝＝－n2＋．] 2．在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝(　　) A．5或7 B．3或5 C．7或－1 D．3或－1 D　[由an＝a1＋(n－1)×2＝11，得a1＋an＝11－2(n－1)＋11＝22－2(n－1)，又Sn＝＝35，则＝35，解得n＝5或n＝7．当n＝5时，a1＝3；当n＝7时，a1＝－1，故选D．] 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为(　　) A．1　　 B．　　　　 C．2　　　　 D．3 C　[因为S3＝＝6，而a3＝4，所以a1＝0，所以d＝＝2．] 4．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________． 解析：　由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18． 答案：　18 5．数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝________． 解析：　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0； 当n≥2且n∈N＋时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]＝－2n＋2，经检验，n＝1也适合该式．故an＝－2n＋2(n∈N＋)． 答案：　－2n＋2(n∈N＋) 课时精练(六)　等差数列的前n项和公式 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于(　　) A．1　　 B．　　　　 C．－2　　　　 D．3 C　[依题意得S3＝3a1＋3d＝12＋3d＝6，d＝－2，故选C．] 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于(　　) A．49 B．42 C．35 D．28 B　[2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42．] 3．在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于(　　) A．10 B．15 C．20 D．30 C　[因为Sn＝na1＋n(n－1)d＝10n＋n(n－1)×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580， 解得n＝20或n＝－29(舍去)．] 4．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1等于(　　) A．18 B．20 C．22 D．24 B　[由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0， 所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20．] 5．等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于(　　) A．160 B．180 C．200 D．220 B　[由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，S20＝×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180．] 6．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝1，则(　　) A．a2＋a8＝2 B．a3a7＝1 C．S9＝9 D．S10＝10 AC　[设数列{an}的公差为d， 由a2＋a8＝2a5＝2，知选项A正确； a3a7＝(a5－2d)(a5＋2d)＝a－4d2＝1－4d2， 由于d不确定，所以B错误； 由S9＝＝9a5＝9，知选项C正确； S10＝S9＋a10＝9＋a5＋5d＝10＋5d，由于d不确定，所以D错误． 故选AC．] 7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________． 解析：　因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5． 答案：　5 8．在等差数列{an}中，S10＝4S5，则＝________． 解析：　设数列{an}的公差为d， 由题意得10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)， 所以10a1＋45d＝20a1＋40d， 所以10a1＝5d， 所以＝． 答案：　 9．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n＝________． 解析：　由S13＝＝0， 得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2， ∴数列{an}的通项公式为 an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14， 由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整数n为8． 答案：　8 10．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋n，bn＝|an|． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Tn． 解析：　(1)当n＝1时，S1＝a1＝－×12＋×1＝13． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n－ [－(n－1)2＋(n－1)]＝16－3n． n＝1时上式也成立． ∴an＝16－3n，n∈N＋． (2)bn＝|an|＝ ∴当1≤n≤5时，数列{bn}的前n项和为Tn＝Sn＝－n2＋n． 当n≥6时，数列{bn}的前n项和为Tn＝a1＋a2＋……＋a5－a6－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a5)－a1－a2－…－a5－a6－…－an ＝2S5－Sn ＝2×(－×52＋×5)－(－n2＋n) ＝n2－n＋70． ∴Tn＝ [能力提升] 11．等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 B　[由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124， an＋an－1＋an－2＋an－3＝156， ∴4(a1＋an)＝280， ∴a1＋an＝70．又Sn＝＝·70＝210， ∴n＝6．] 12．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于(　　) A． B． C． D． C　[由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12， 所以an＝3n－3，n≥2， 所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝＝．] 13．把形如M＝mn(m，n∈N＋)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”．例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”．据此，对324的18项划分中最大的数是________． 解析：　设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18， 则由解得 答案：　35 14．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n＋1，求数列{|an|}的前n项和Tn． 解析：　a1＝S1＝－×12＋×1＋1＝102， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104． ∵n＝1时不满足上式， ∴数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)． 由an＝－3n＋104≥0，得n≤34， 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0． 当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n＋1， 当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an) ＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2S34－Sn ＝2×(－×342＋×34＋1)－(－n2＋n＋1) ＝n2－n＋3 503． 故Tn＝ [拓展应用] 15．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应的函数的图象的是(　　) ABC　[因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N＋)，则其对应函数为y＝ax2＋bx．当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意．] 16．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值． 解析：　(1)∵S4＝28， ∴＝28，a1＋a4＝14， ∴a2＋a3＝14， 又a2a3＝45，公差d>0， ∴a2<a3， ∴a2＝5，a3＝9， ∴解得 ∴an＝4n－3，n∈N＋． (2)由(1)，知Sn＝2n2－n， ∴bn＝＝， ∴b1＝，b2＝，b3＝． 又{bn}也是等差数列， ∴b1＋b3＝2b2， 即2×＝＋， 解得c＝－(c＝0舍去)． 学科网（北京）股份有限公司 $$