1.2.2 等差数列与一次函数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．2．2　等差数列与一次函数 [学习目标]　1．体会等差数列与一元一次函数的关系．2．掌握等差数列的判断与证明方法．3．能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用． 知识点　等差数列与一次函数的关系 [问题导引]　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示：　由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，记为d＝(n≥2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列． 1．等差数列的通项公式与一次函数的关系 对于一般的等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d)， (1)当d≠0时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)； (2)当d＝0时，y＝a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是直线，等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成． 2．等差数列的单调性 等差数列的公差为d， (1)当d>0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右上升，等差数列递增． (2)当d<0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右下降，等差数列递减． (3)当d＝0时，y＝a1为水平方向的直线，数列为常数列． 角度一　等差数列的函数性质 已知数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n(n∈N＋)，则实数a＝________． 解析：　∵{an}是等差数列，且an＝an2＋n， ∴an是关于n的一次函数，∴a＝0． 答案：　0 熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列．　　 即时练1．等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(　　) A．第7项　　　　　 B．第8项 C．第9项 D．第10项 B　[∵a1＝20，d＝－3， ∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n， ∴a7＝2>0，a8＝－1<0． ∴数列中第一个负数项是第8项．] 角度二　等差数列的判定与证明 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝． (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求an． 解析：　(1)数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝， ∴＝＝＋， ∴－＝，即是首项为＝，公差为d＝的等差数列． (2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝，n∈N＋． 判断等差数列的方法 (1)定义法 an＋1－an＝d(n∈N＋)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋)⇔数列{an}是等差数列． (2)等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔数列{an}为等差数列． (3)通项公式法 数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．　　 即时练2．若a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝． (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：　(1)证明：bn＋1－bn＝－ ＝－＝－＝＝． 又b1＝＝， ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n． ∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2． ∴数列{an}的通项公式为an＝＋2，n∈N＋． 即时练3．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝． (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：　(1)证明：∵－＝＝， ∴bn＋1－bn＝，又b1＝＝1， ∴{bn}是首项为1，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝n＋， ∴an－1＝，∴an＝． 等差数列的性质及应用 性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋) 性质2 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an 性质3 若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d 性质4 若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列 性质5 若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列 性质6 若{an}为等差数列，且ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0 性质7 有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝… 性质8 若数列{an}为等差数列，公差为d，则{λan＋m}(λ，m为常数)是公差为λd的等差数列 (1)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　) A．32　　 B．27　　　　 C．24　　　 D．16 (2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________． 解析：　(1)法一：设等差数列{an}公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8， ∴5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24． 法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． ∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， ∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7． 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5． ∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24． (2)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根， 则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为的等差数列，现假定a＝，则b＝2－＝． 根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和， ∴这个等差数列的顺序为，c，d，． 则c＝，d＝． ∴m＝ab＝，n＝cd＝．∴|m－n|＝＝． 答案：　(1)C　(2) [变式探究] 1．若本例(1)中条件变为“a5＝8，a10＝20”，求a15． 解析：　法一：因为a5，a10，a15成等差数列， 所以a5＋a15＝2a10． 所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32． 法二：因为{an}为等差数列，设其公差为d，所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝． 所以a15＝a10＋5d＝20＋5×＝32． 2．若本例(1)中条件变为“a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8． 解析：　由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 得5a5＝450，∴a5＝90． ∴a2＋a8＝2a5＝180． 等差数列运算的两条常用思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量； (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar． 即时练4．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　) A．5 B．8 C．10 D．14 B　[法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8． 法二：由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8．] 即时练5．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 C　[设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100， ∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0．∴c37＝100．] 1．下列命题中，与命题“{an}为等差数列”不等价的是(　　) A．an＋1＝an＋d(d为常数) B．数列{－an}是等差数列 C．数列是等差数列 D．an＋1是an与an＋2的等差中项 C　[对于A，即an＋1－an＝d，故A正确． 对于B，数列{－an}是等差数列，则－an＋1＝－an＋d，d为常数．故an＋1－an＝－d，－d为常数．故B正确． 对于C，数列是等差数列，则－＝d，d为常数．不能推导出{an}为等差数列．故C错误．] 2．设{an}是等差数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[由{an}是等差数列，可得d＝a2－a1＝a3－a2>0，所以数列{an}是递增数列，充分性成立；若数列{an}是递增数列，则必有a1<a2<a3，即必要性成立．] 3．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于(　　) A．3　　 B．－3　　　　 C．　　　　 D．－ A　[由等差数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7， 所以a2＝15－12＝3．] 4．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________． 解析：　∵5＋8＝2＋11＝3＋10， ∴a2＋a3＋a10＋a11＝2(a5＋a8)， ∴a5＋a8＝×36＝18． 答案：　18 5．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12＝________． 解析：　由已知，得5a8＝120，所以a8＝24． 所以2a10－a12＝a8＋a12－a12＝a8＝24． 答案：　24 课时精练(四)　等差数列与一次函数 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，则a101的值为(　　) A．52　　 B．50　　　　 C．51　　　　 D．49 A　[由已知得，an＋1－an＝，n∈N＋，所以{an}是首项为2，公差为的等差数列．所以a101＝2＋100×＝52．] 2．已知数列{an}为等差数列，则下列不一定成立的是(　　) A．若a2>a1，则a3>a1 B．若a2>a1，则a3>a2 C．若a3>a1，则a2>a1 D．若a2>a1，则a1＋a2>a1 D　[利用等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差d>0，所以等差数列{an}是递增数列，所以a3－a1＝2d>0，a3－a2＝d>0成立，所以A，B正确； a1＋a2>a1不一定成立，例如a2<0时不成立，所以D不一定成立； 若a3>a1，则a3－a1＝2d>0，所以a2－a1＝d>0成立，所以C正确．] 3．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　) A．7 B．5 C．3 D．1 D　[由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1．] 4．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对∀n∈N＋都有2a＝a＋a，则a10等于(　　) A．10 B． C．64 D．4 D　[对∀n∈N＋都有2a＝a＋a，由等差中项法可知，数列为等差数列， 由于a1＝1，a2＝2，则数列的公差为d＝a－a＝7， 所以a＝a＋9d＝1＋9×7＝64，因此a10＝4．] 5．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(　　) A．8 B．4 C．6 D．12 A　[因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8．故选A．] 6．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是(　　) A．{|an|} B．{an＋1－an} C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n} BCD　[数列－1，1，3是等差数列，取绝对值后：1，1，3不是等差数列，A不成立． 若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知，{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立． 若{an}的公差为d， 则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数， 故{pan＋q}是等差数列，C成立． (2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数， 故{2an＋n}是等差数列，D成立．] 7．已知数列{an}的通项公式为an＝4n－102，那么数列从第________项开始值大于零． 解析：　令an＝4n－102>0，解得n>25．5，∵n∈N＋， ∴n≥26，故从第26项开始值大于零． 答案：　26 8．已知在数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N＋)，则a10＝________． 解析：　由＝＋，得－＝， ∴数列是以＝1为首项，以为公差的等差数列，则＝1＋(n－1)＝， ∴an＝，则a10＝＝． 答案：　 9．已知三个数成等差数列，它们的和为6，平方和为44，求这三个数． 解析：　设这三个数为a－d，a，a＋d， 则解得 ∴这三个数为－2，2，6或6，2，－2． 10．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋)． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：　(1)证明：由＝＝＝＝＝＋， 得－＝， 故数列是首项为1，公差为的等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝， 所以an＝，n∈N＋． [能力提升] 11．已知在数列{an}中， f(x)＝，则数列是(　　) A．首项为，公差为的等差数列 B．首项为，公差为的等差数列 C．首项为，公差为的等差数列 D．首项为，公差为的等差数列 B　[∵函数f(x)＝，∴an＝f(an－1)＝，n≥2且n∈N＋，∴－＝，又∵a1＝2，∴数列是首项为，公差为的等差数列．] 12．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　) A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51 C　[由等差数列的性质得，a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51， 由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0， 故a3＋a99＝2a51＝0．] 13．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________． 解析：　由题设可得－＋1＝0，即－＝1， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故通项公式为＝n，所以an＝n2(n∈N＋)． 答案：　n2(n∈N＋) 14．已知数列{an}为等差数列，且公差为d． (1)若a15＝8，a60＝20．求a65的值； (2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d． 解析：　(1)等差数列{an}中， 由a15＝8，a60＝20，得 解得d＝，a65＝a60＋5d＝20＋＝． (2)数列{an}为等差数列，公差为d且a2＋a3＋a4＋a5＝34，所以a2＋a5＝17，结合a2a5＝52， 解得a2＝4，a5＝13或a2＝13，a5＝4． 又a5＝a2＋3d，即13＝4＋3d或4＝13＋3d， 解得d＝3或d＝－3． [拓展应用] 15．等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N＋都有＝，则＋＝________． 解析：　由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6， 所以＋＝＝＝＝1． 答案：　1 16．在等差数列2，5，8，…中，每相邻两项间插入3个数，构成一个新的等差数列． (1)求原数列的通项公式； (2)原数列的第10项是新数列的第几项？ (3)新数列的第2 021项是原数列的第几项？求新数列的通项公式． 解析：　(1)由等差数列2，5，8，…，得a1＝2，公差d＝3，则an＝a1＋(n－1)d＝3n－1． (2)原数列的第1项是新数列的第1项，原数列的第2项是新数列的第2＋3＝5项，原数列的第3项是新数列的第3＋2×3＝9项，…，原数列的第n项是新数列的第n＋(n－1)×3＝(4n－3)项．当n＝10时，4n－3＝4×10－3＝37．所以原数列的第10项是新数列的第37项． (3)令4n－3＝2 021，得n＝506，即新数列的第2 021项是原数列的第506项． 法一：设新数列为{bn}，公差为d1，由b1＝2，b5＝5，得2＋4d1＝5，解得d1＝，所以bn＝b1＋(n－1)＝． 法二：设新数列为{bn}，依题意，得b4n－3＝an＝3n－1，令k＝4n－3，得n＝⇒bk＝，所以bn＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$