1.2.1 等差数列及其通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．2　等差数列 1．2．1　等差数列及其通项公式 [学习目标]　1． 通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 知识点一　等差数列的定义 [问题导引]　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． ①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986． ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，… ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10． 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 提示：　对于①，我们发现1 758－1 682＝76，1 834－1 758＝76，1 910－1 834＝76，1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062．对于②有270－275＝－5，265－270＝－5，265－270＝－5，…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律． 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示． 判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d． ①1，3，5，7，9，…； ②9，6，3，0，－3，…； ③1，3，4，5，6，…； ④7，7，7，7，7，…； ⑤1，，，，，…． 解析：　①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是． 利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列．　　 即时练1．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10　　 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 ABD　[A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列； C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．] 知识点二　等差数列的通项公式 [问题导引]　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…， 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 思路二：a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， …， an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)． 在等差数列{an}中． (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9． 解析：　(1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴解得 (2)设数列{an}的公差为d． 由已知得，解得 ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， a9＝2×9－1＝17． 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量． 即时练2．等差数列{an}中，已知a3＋a5＝8，a1＝2，则公差d＝(　　) A．　　 B．　　　 C．1　　　　 D．2 B　[由a3＋a5＝2a1＋6d＝8，a1＝2，可得公差d＝，故选B．] 即时练3．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________． 解析：　设等差数列{an}的公差为d，则 即解得 所以a12＝a1＋11d＝－＋11×＝＝15，所以a12的值是15． 答案：　15 知识点三　等差中项 [问题导引]　由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示：　由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2． 在两个数a，b之间插入数M，使a，M, b成等差数列，则M称为a与b的等差中项． (1)已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　) A．　　 B．　　　　 C．　　　　 D． (2){an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝(　　) A．2 B． C．1 D． 解析：　(1)a，b的等差中项为×＝×(－＋＋)＝． (2)因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2，a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1． 答案：　(1)A　(2)C 在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N＋)，则an是an－1与an＋1的等差中项． 反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N＋均成立，则数列{an}是等差数列． 因此，数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋)．用此结论可判断所给数列是否为等差数列，称为等差中项法． 即时练4．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于(　　) A． B． C． D． C　[所以a＝，b＝x．所以＝．] 即时练5．(2021·宁波期中)若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　) A．26 B．29 C．39 D．52 C　[因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39．] 1．(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．1，1，1，1，1　　　　 B．4，7，10，13，16 C．，，1，， D．－3，－2，－1，1，2 ABC　[由等差数列的定义得，A项d＝0，故是等差数列；B项d＝3，故是等差数列；C项d＝，故是等差数列；D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．] 2．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是(　　) A．1，4 B．－1，－4 C．4，1 D．－4，－1 B　[n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4．] 3．等差数列的前三项依次是a－1，a＋2，2a＋1，则a值为(　　) A．2　　 B．1　　　　 C．4　　　　 D．8 C　[由题意a－1＋2a＋1＝2(a＋2)，解得a＝4．故选C．] 4．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝________． 解析：　由题意知，解得 ∴a6＝a1＋5d＝0． 答案：　0 课时精练(三)　等差数列及其通项公式 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是(　　) A．3n－1　　　　　　 B．3n＋2 C．3n－2 D．3n＋1 B　[因为an＋1－an＝3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列， 则an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，n∈N＋．] 2．等差数列0，－3，－7，…的第n＋1项是(　　) A．－n B．－(n＋1) C．－n＋1 D．－(n－1) A　[由题意得，等差数列{an}中，a1＝0，a2－a1＝ －3－0＝－＝d， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)＝－n＋， ∴an＋1＝－(n＋1)＋＝－n，故选A．] 3．在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18．5尺，立春的日影长为15．5尺，则春分的日影长为(　　) A．9．5 尺 B．10．5 尺 C．11．5 尺 D．12．5 尺 D　[由题意得：为等差数列，公差为d，则a1＝18．5，a4＝15．5，则a4－a1＝3d＝－3，解得：d＝－1，则a7＝a1＋6d＝18．5－6＝12．5，故春分的日影长为12．5尺．故选D．] 4．已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于(　　) A．90　　 B．96　　　　 C．98　　　　 D．100 D　[由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100．] 5．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝a，则公差d等于(　　) A．0 B． C．1 D．2 AB　[根据题意知，a4＋a8＝a⇒a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2． 又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，解得d＝或d＝0．] 6．在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2(n＋1)2 B．an＝4(n＋1) C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1) A　[由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋(n－1)＝n＋，故an＝2(n＋1)2．] 7．在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________． 解析：　设该等差数列为{an}，其首项为a1，公差为d，由题意知，a1＝－3，a4＝6， 即解得d＝3． 答案：　3 8．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是____________． 解析：　由等差中项的定义知，x＝，x2＝， ∴＝， 即a2－2ab－3b2＝0， ∴(a－3b)(a＋b)＝0， ∴a＝3b或a＝－b． 答案：　a＝－b或a＝3b 9．在等差数列{an}中， (1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an； (2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n． 解析：　(1)a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29． (2)由an＝a1＋(n－1)d，得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10． 10．已知数列{an}为等差数列，且公差为d． (1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值； (2)若a2＋a4＋a6＝18，a2a6＝20，求公差d． 解析：　(1)法一：由题意得解得 故a105＝a1＋104d＝＋104×＝32． 法二：∵{an}为等差数列，∴d＝＝， ∴a105＝a60＋45×＝32． 法三：∵{an}为等差数列，∴a15，a60，a105也成等差数列， 则2a60＝a15＋a105，∴a105＝2×20－8＝32． (2)由a2＋a4＋a6＝18，得3a4＝18，a4＝6， 由a2a6＝20得(a4－2d)(a4＋2d)＝20， a－4d2＝20，d＝±2． [能力提升] 11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是(　　) A． B． C． D． C　[设an＝－24＋(n－1)d，n∈N＋， 由解得<d≤3．] 12．在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20＝________． 解析：　对an＋1＝取倒数得＝＋3，∴－＝3， ∴是以为首项，3为公差的等差数列．∴＝＋(n－1)·3＝3n－＝， ∴an＝，∴a20＝． 答案：　 13．若数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1，ln a2，ln a5成等差数列，则的值为________． 解析：　数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1，ln a2，ln a5成等差数列， ∴2ln (a1＋d)＝ln a1＋ln (a1＋4d)， ∴(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)， ∴a＋2a1d＋d2＝a＋4a1d， 解得d＝2a1， ∴＝＝3． 答案：　3 14．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7． (1)求数列的第10项； (2)问112是数列{an}的第几项？ (3)在80到110之间有多少项？ 解析：　设数列{an}的公差为d， 则解得 (1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25． (2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39． 所以112是数列{an}的第39项． (3)由80<3n－5<110， 解得28<n<38， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项． [拓展应用] 15．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”(又称“物不知数题”)，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为(　　) A．116 B．131 C．146 D．161 C　[依题意，设a满足被3除余2且被5除余1，则a加上3和5的最小公倍数15的整数倍后也能满足被3除余2且被5除余1．设被3除余2且被5除余1的数由小到大排列而成的数列为{an}，由于被3除余2且被5除余1的最小正整数为11，则{an}是以11为首项，以15为公差的等差数列，所以a10＝11＋(10－1)×15＝146．] 16．若数列{bn}对于n∈N＋，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．例如cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N＋，都有an＋an＋1＝2n． (1)求证：数列{an}为准等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：　(1)证明：因为an＋an＋1＝2n(n∈N＋)，① 所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，② ②－①得an＋2－an＝2(n∈N＋)， 所以数列{an}是公差为2的准等差数列． (2)因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N＋)， 所以a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a． 因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列， a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列， 所以当n为偶数时，an＝2－a＋×2＝n－a， 当n为奇数时，an＝a＋×2＝n＋a－1． 所以an＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$