第1章 习题课2 等比数列的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第1章 数列 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 习题课2　等比数列的性质 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 aman＝apaq qn－m qk 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 综合应用 素养提升 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 随堂演练 对点落实 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 课 时 精 练（十） 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 谢谢观看！ 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　等比数列{an}的常用性质 1．若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则_______________． 特例：若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则aman＝_______． 2．an＝am·_________(m，n∈N＋)． 3．在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，取出的项按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列，公比为_______． aeq \o\al(2,p) 4．若数列{an}与{bn}是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{aeq \o\al(2,n)}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))等也是等比数列． 5．a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1． 角度一　等比数列中任意两项之间的关系 在等比数列{an}中： (1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝eq \f(1,2)，求n； (2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an． 解析：　设等比数列{an}的公比为q． (1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝q（a3＋a6）＝18，,a3＋a6＝36，))得q＝eq \f(1,2)． 再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32， 则an＝a3·qn－3＝32×(eq \f(1,2))n－3＝(eq \f(1,2))n－8＝eq \f(1,2)， 所以n－8＝1，所以n＝9． (2)由a7＝a5·q2得q2＝eq \f(1,4)． 因为an>0，所以q＝eq \f(1,2)， 所以an＝a5·qn－5＝8×(eq \f(1,2))n－5＝(eq \f(1,2))n－8． 等比数列的通项公式及变形的应用 (1)在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项． (2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项． 即时练1．在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为(　　) A．2　　　　　　 B．eq \f(1,2) C．2或eq \f(1,2) D．－2或eq \f(1,2) C　[设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，q≠－1，化为2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或eq \f(1,2)．故选C．] 即时练2．已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则eq \f(a9－a10,a5－a6)等于(　　) A．16　　 B．8　　　　 C．4　　　　 D．2 C　[等比数列{an}中，设其公比为q(q≠0)，a3＝2，a4a6＝a3q·a3q3＝aeq \o\al(2,3)q4＝4q4＝16，∴q4＝4． ∴eq \f(a9－a10,a5－a6)＝eq \f(a1q8－a1q9,a1q4－a1q5)＝q4＝4，故选C．] 角度二　等比数列中多项之间的关系 已知{an}为等比数列． (1)若{an}满足a2a4＝eq \f(1,2)，求a1aeq \o\al(2,3)a5； (2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解析：　(1)在等比数列{an}中， ∵a2a4＝eq \f(1,2)，∴aeq \o\al(2,3)＝a1a5＝a2a4＝eq \f(1,2)，∴a1aeq \o\al(2,3)a5＝eq \f(1,4)． (2)由等比中项，化简条件得aeq \o\al(2,6)＋2a6a8＋aeq \o\al(2,8)＝49，即(a6＋a8)2＝49， ∵an>0，∴a6＋a8＝7． (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10． 利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．　　 即时练3．公比为eq \r(3,2)的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　[因为a3a11＝16，所以aeq \o\al(2,7)＝16． 又因为an>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5．] 即时练4．已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________． 解析：　法一：因为{an}是等比数列， 所以a1a7＝aeq \o\al(2,4)，a2a8＝aeq \o\al(2,5)，a3a9＝aeq \o\al(2,6)． 所以aeq \o\al(2,4)·aeq \o\al(2,5)·aeq \o\al(2,6)＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50． 因为an>0，所以a4a5a6＝5eq \r(2)． 法二：因为a1a2a3＝(a1a3)a2＝aeq \o\al(2,2)·a2＝aeq \o\al(3,2)＝5，所以a2＝． 因为a7a8a9＝(a7a9)a8＝aeq \o\al(3,8)＝10，所以a8＝． 同理a4a5a6＝aeq \o\al(3,5)＝＝＝＝5eq \r(2)． 答案：　5eq \r(2) 等比数列与等差数列的综合应用 (1)已知数列{3an}是等比数列，公比为q，则数列{an}(　　) A．是等差数列，公差为log3q B．是等差数列，公差为3q C．是等比数列，公比为log3q D．既不是等差数列，也不是等比数列 (2)三个数成等比数列，其积为64，如果第一个数与第三个数各减去1，则这三个数成等差数列，求这三个数． 解析：　(1)因为数列{3an}是等比数列，所以eq \f(3an＋1,3an)＝3an＋1－an＝q， 所以an＋1－an＝log3q(常数)，所以数列{an}是等差数列，公差为log3q． (2)因为三个数成等比数列， 设三个数为eq \f(a,q)，a，aq，则eq \f(a,q)×a×aq＝a3＝64， 所以a＝4，所以三个数为eq \f(4,q)，4，4q， 第一个数与第三个数各减去1后三个数变为eq \f(4,q)－1，4，4q－1， 则eq \f(4,q)－1＋4q－1＝8，即2q2－5q＋2＝0， 解得q＝2或eq \f(1,2)，所以这三个数为2，4，8或8，4，2． 答案：　(1)A [变式探究] 将本例(2)中的条件改为“有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80”，再求这四个数． 解析：　由题意，设这四个数分别为eq \f(b,q)，b，bq，a， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b3＝－8，,2bq＝a＋b，,ab2q＝－80，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝10，,b＝－2，,q＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝－2，,q＝\f(5,2).))所以这四个数分别为1，－2，4，10或－eq \f(4,5)，－2，－5，－8． 即时练5．(多选)已知a>0，b>0，若a与b的等差中项为M，等比中项为G，则下列结论正确的是(　　) A．M与G可能相等　　 B．M大于G C．M小于G D．M不小于G AD　[由于a>0，b>0时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．由a与b的等差中项为M＝eq \f(a＋b,2)，等比中项为G＝±eq \r(ab)，当a＝b，G>0时，M＝G；当a≠b时，M>G．] 1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝eq \f(1,9)，则a5等于(　　) A．±eq \f(1,81)　 B．－eq \f(1,81)　　　 C．eq \f(1,81)　　　 D．±eq \f(1,2) C　[根据等比数列的性质可知a1a5＝aeq \o\al(2,3)⇒a5＝2,3)eq \f(a,a1) ＝eq \f(1,81)．故选C．] 2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 C　[当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．] 3．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是(　　) A．eq \f(3,2) B．eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2) C　[奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则eq \f(a2a4a6a8a10,a1a3a5a7a9)＝q5＝32，则q＝2．] 4．若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当eq \f(1,a2)＋eq \f(4,a4)取最小值时，数列{an}的公比是________． 解析：　设正项等比数列{an}的公比为qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q>0))， 因为a1a5＝4，所以由等比数列的性质可得a2a4＝4， 因此eq \f(1,a2)＋eq \f(4,a4)≥2eq \r(\f(1,a2)·\f(4,a4))＝2， 当且仅当eq \f(1,a2)＝eq \f(4,a4)，即eq \f(a4,a2)＝q2＝4，即q＝2(负值舍去)时，等号成立． 所以数列{an}的公比是2． 答案：　2 $$