1.3.3 第2课时 数列求和-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第1章 数列 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 1．3．3　等比数列的前n项和 第2课时　数列求和 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 综合应用 素养提升 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 随堂演练 对点落实 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 课 时 精 练（十二） 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 谢谢观看！ 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 应用一、分组转化法求和 已知等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的前n项和Sn． 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝10，,（a1＋d）（a1＋6d）＝（a1＋2d）2，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(5,2)，,d＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3，)) 所以an＝eq \f(5,2)或an＝－2＋3(n－1)＝3n－5． (2)当an＝eq \f(5,2)时，bn＝eq \f(5,2)＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq \f(5,2)n＋eq \f(2（1－2n）,1－2)＝2n＋1＋eq \f(5,2)n－2； 当an＝3n－5时，bn＝(3n－5)＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq \f(－2＋3n－5,2)·n＋eq \f(2（1－2n）,1－2)＝2n＋1＋eq \f(3,2)n2－eq \f(7,2)n－2． 分组转化法求和的常见类型 即时练1．设数列eq \b\lc\ (\a\vs4\al\co1({an}))的前n项和为Sn．已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋． (1)求通项公式an； (2)求数列{|an－n－2|}的前n项和． 解析：　(1)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4，,a2＝2a1＋1，))则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a2＝3，))又当n≥2时，an＝2Sn－1＋1， 故an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，且eq \f(a2,a1)＝3， 所以数列{an}是公比为3的等比数列，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N＋． (2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N＋，b1＝2，b2＝1． 当n≥3时，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3． 设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3． 当n≥3时，Tn＝3＋eq \f(9（1－3n－2）,1－3)－eq \f(（n＋7）（n－2）,2)＝eq \f(3n－n2－5n＋11,2)，且n＝2时符合上式， 所以Tn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,\f(3n－n2－5n＋11,2)，n≥2，n∈N＋.)) 应用二、裂项相消法求和 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的前n项和Tn． 解析：　(1)设公差为d，d≠0，由a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列， 则eq \f(1＋2d,1)＝eq \f(1＋8d,1＋2d)，解得d＝1或d＝0(舍去)， an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n，故{an}的通项为an＝n． (2)∵an＝n，则Sn＝eq \f(n（1＋n）,2)＝eq \f(n2＋n,2) ∴eq \f(1,Sn)＝eq \f(2,n2＋n)＝eq \f(2,n（n＋1）)＝2(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1))， ∴Tn＝2(1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)) ＝2(1－eq \f(1,n＋1))＝2(eq \f(n＋1,n＋1)－eq \f(1,n＋1))＝2(eq \f(n＋1－1,n＋1))＝eq \f(2n,n＋1)． 裂项相消法求和常见的裂项技巧 (1)eq \f(1,n（n＋k）)＝eq \f(1,k)(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋k))； (2)eq \f(1,\r(n＋k)＋\r(n))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))； (3)eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2)(eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1))； (4)eq \f(2n,（2n－1）（2n＋1－1）)＝eq \f(（2n＋1－1）－（2n－1）,（2n－1）（2n＋1－1）)＝eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1－1)．　　 即时练2．已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝eq \f(1,anan＋1)，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的前n项和Tn． 解析：　(1)因为4Sn＝(an＋1)2， 所以4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1， 当n≥2时，由4Sn＝(an＋1)2①可得，4Sn－1＝(an－1＋1)2②， ①－②并整理得，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为an>0，所以an＋an－1≠0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2， 所以{an}是以a1＝1为首项，以d＝2为公差的等差数列， 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1； 综上所述，an＝2n－1． (2)由(1)可得bn＝eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝eq \f(1,2)(1－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,5)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1)) ＝eq \f(1,2)(1－eq \f(1,2n＋1))＝eq \f(n,2n＋1)．综上所述，Tn＝eq \f(n,2n＋1)． 应用三、错位相减法求和 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，(2n－1)an＋1＝(2n＋3)Sn(n＝1，2，3，…)． (1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,2n－1)))是等比数列； (2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn))的前n项和Tn． 解析：　(1)证明：因为(2n－1)an＋1＝(2n＋3)Sn，即an＋1＝eq \f(2n＋3,2n－1)·Sn， 因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝eq \f(2n＋3,2n－1)·Sn，可得Sn＋1＝eq \f(2（2n＋1）,2n－1)·Sn，所以eq \f(Sn＋1,2n＋1)＝2·eq \f(Sn,2n－1)， 又a1＝1，可得eq \f(S1,1)＝1， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,2n－1)))是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可得eq \f(Sn,2n－1)＝2n－1，所以Sn＝(2n－1)·2n－1， 则Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，① 2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，② ①－②得，－Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n ＝1＋2×eq \f(2－2n－1×2,1－2)－(2n－1)·2n ＝(3－2n)·2n－3， 所以Tn＝(2n－3)·2n＋3． 错位相减法求解数列的前n项和 (1)适用条件：若数列{an}为等差数列，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))为等比数列，求解数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(anbn))的前n项和Sn； (2)注意事项 ①在写出Sn和qSn的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号； ③作差后，作差部分应为n－1项的等比数列求和．　　 即时练3．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足4Sn＝aeq \o\al(2,n)＋2an． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))满足b1＝a1－1，3bn＋1＝bn，且cn＝anbn，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn))的前n项和Mn． 解析：　(1)当n＝1时，4a1＝aeq \o\al(2,1)＋2a1，因为a1>0，所以a1＝2， 由4Sn＝aeq \o\al(2,n)＋2an①，可得4Sn＋1＝aeq \o\al(2,n＋1)＋2an＋1，② ②－①得，4an＋1＝aeq \o\al(2,n＋1)－aeq \o\al(2,n)＋2an＋1－2an，整理得aeq \o\al(2,n＋1)－aeq \o\al(2,n)－2an＋1－2an＝0， 所以(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，因为an>0，所以an＋1－an＝2， 所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，所以an＝2n． (2)因为b1＝a1－1＝2－1＝1，eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(1,3)， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))是首项为1，公比为eq \f(1,3)的等比数列，所以bn＝(eq \f(1,3))n－1， 于是cn＝anbn＝2n×(eq \f(1,3))n－1，Mn＝2×1＋4×eq \f(1,3)＋6×(eq \f(1,3))2＋…＋2n×(eq \f(1,3))n－1，③ eq \f(1,3)Mn＝2×eq \f(1,3)＋4×(eq \f(1,3))2＋6×(eq \f(1,3))3＋…＋2n×(eq \f(1,3))n，④ ③－④得，eq \f(2,3)Mn＝2＋2×eq \f(1,3)＋2×(eq \f(1,3))2＋2×(eq \f(1,3))3＋…＋2×(eq \f(1,3))n－1－2n×(eq \f(1,3))n ＝2×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋…＋（\f(1,3)）n－1))－2n×(eq \f(1,3))n ＝2×eq \f(1－（\f(1,3)）n,1－\f(1,3))－2n×(eq \f(1,3))n， 所以Mn＝eq \f(9,2)－(eq \f(3,2)＋n)×(eq \f(1,3))n－1． 1．Sn＝eq \f(1,2)＋eq \f(2,4)＋eq \f(3,8)＋…＋eq \f(n,2n)＝(　　) A．eq \f(2n－n,2n) B．eq \f(2n＋1－n－2,2n) C．eq \f(2n－n＋1,2n＋1) D．eq \f(2n＋1－n＋2,2n) B　[由Sn＝eq \f(1,2)＋eq \f(2,4)＋eq \f(3,8)＋…＋eq \f(n,2n)， 得eq \f(1,2)Sn＝1×(eq \f(1,2))2＋2×(eq \f(1,2))3＋3×(eq \f(1,2))4＋…＋n×(eq \f(1,2))n＋1， 两式相减得eq \f(1,2)Sn＝eq \f(1,2)＋(eq \f(1,2))2＋(eq \f(1,2))3＋(eq \f(1,2))4＋…＋(eq \f(1,2))n－n×(eq \f(1,2))n＋1 ＝eq \f(\f(1,2)（1－\f(1,2n)）,1－\f(1,2))－n(eq \f(1,2))n＋1＝1－eq \f(1,2n)－n(eq \f(1,2))n＋1＝eq \f(2n＋1－n－2,2n＋1)， 所以Sn＝eq \f(2n＋1－n－2,2n)．故选B．] 2．已知等差数列{an}中，a5＝5，a8＝8，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n项和为(　　) A．eq \f(1,n＋1) B．eq \f(n,n＋1) C．eq \f(n－1,n) D．eq \f(n－1,n＋1) B　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为a5＝5，a8＝8，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝5，,a1＋7d＝8，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝1，))所以an＝n， 则eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n项和为eq \f(1,1)－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)＝1－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(n,n＋1)．故选B．] 3．2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足an＋2－an＝1－(－1)n，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有__________． 解析：　由于an＋2－an＝1－(－1)n，当n为偶数时，an＋2－an＝0，因此前30项中的偶数项构成常数列，各项都等于a2＝2，共有15项，和为15×2＝30； 当n为奇数时，an＋2－an＝2，又a1＝1，所以前30项中的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，共有15项，和为15×1＋eq \f(15×14,2)×2＝225． 故30天的总人数为30＋225＝255． 答案：　255 4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)． (1)记bn＝an＋1，证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式； (2)记数列{bn}前n项和为Tn，证明：eq \f(b2,T1T2)＋eq \f(b3,T2T3)＋…＋eq \f(bn＋1,TnTn＋1)<eq \f(1,2)． 证明：　(1)由an＋1＝2an＋1可得 an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以{bn}是以首项a1＋1＝2，公比为2的等比数列， 所以bn＝an＋1＝2n． (2)易得Tn＝eq \f(2（1－2n）,1－2)＝2(2n－1)， 于是eq \f(bn＋1,TnTn＋1)＝eq \f(Tn＋1－Tn,TnTn＋1)＝eq \f(1,Tn)－eq \f(1,Tn＋1)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1－1)))， 所以eq \f(b2,T1T2)＋eq \f(b3,T2T3)＋…＋eq \f(bn＋1,TnTn＋1)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,21－1)－\f(1,22－1)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,22－1)－\f(1,23－1)))＋…＋)) eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1－1))))) ＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1－1)))， 因为eq \f(1,2n＋1－1)>0，所以 eq \f(b2,T1T2)＋eq \f(b3,T2T3)＋…＋eq \f(bn＋1,TnTn＋1)<eq \f(1,2)． $$