1.3.3 第1课时 等比数列的前n项和-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第1章 数列 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 1．3．3　等比数列的前n项和 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1课时　等比数列的前n项和 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 综合应用 素养提升 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 随堂演练 对点落实 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 课 时 精 练（十一） 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 谢谢观看！ 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 [学习目标]　1．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 知识点一　等比数列的前n项和公式 [问题导引]　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示：　因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)，而当q＝1时，Sn＝na1．上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”． 已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项 an与公比q公式 Sn＝__________________ Sn＝_____________________ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1（q＝1），,\f(a1（1－qn）,1－q)（q≠1）)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1（q＝1），,\f(a1－anq,1－q)（q≠1）)) 在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn． (1)若a1＝8，an＝eq \f(1,4)，Sn＝eq \f(63,4)，求n； (2)若S3＝eq \f(7,2)，S6＝eq \f(63,2)，求an及Sn． 解析：　(1)显然q≠1，由Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)，即eq \f(8－\f(1,4)q,1－q)＝eq \f(63,4)， ∴q＝eq \f(1,2)．又∵an＝a1qn－1，即8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n－1)＝eq \f(1,4)，∴n＝6． (2)法一：由S6≠2S3知q≠1，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－q3）,1－q)＝\f(7,2)，　①,\f(a1（1－q6）,1－q)＝\f(63,2)，　②)) ②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2． 代入①得a1＝eq \f(1,2)，∴an＝a1qn－1＝eq \f(1,2)×2n－1＝2n－2， Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝2n－1－eq \f(1,2)． 法二：由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3． ∴1＋q3＝eq \f(S6,S3)＝9，∴q3＝8，即q＝2． 代入eq \f(a1（1－q3）,1－q)＝eq \f(7,2)，得a1＝eq \f(1,2)，∴an＝a1qn－1＝eq \f(1,2)×2n－1＝2n－2， Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝2n－1－eq \f(1,2)． 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．　　 即时练1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且a2 019＋a2 020＝0，则S101等于(　　) A．3　 B．303　　　 C．－3　　　 D．－303 A　[设数列{an}的公比为q，由a2 019＋a2 020＝0可得q＝－1，故S101＝a101＝a1＝3．] 即时练2．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn．已知S3＝eq \f(7,4)，S6＝eq \f(63,4)，则a8＝________． 解析：　设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－q3）,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a1（1－q6）,1－q)＝\f(63,4)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝\f(1,4)，))则a8＝a1q7＝eq \f(1,4)×27＝32． 答案：　32 即时练3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________． 解析：　因为在数列{an}中a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．因为Sn＝126，所以eq \f(2－2n＋1,1－2)＝126，即2n＋1＝128，解得n＝6． 答案：　6 知识点二　等比数列前n项和的性质 1．等比数列{an}中，若项数为2n，则eq \f(S偶,S奇)＝q；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q． 2．若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)． 3．若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N＋)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋)⇔数列{an}为等比数列． (1)已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且S4＝3，S12－S8＝12，则S8＝(　　) A．－3 B．9 C．－3或9 D．－3或6 (2)设{an}是等比数列，公比为3，前80项之和为32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝(　　) A．16 B．24 C．20 D．28 (3)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn．若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________． 解析：　(1)由等比数列的前n项和的性质，得(S8－S4)2＝S4(S12－S8)＝3×12＝36， 所以S8－S4＝±6，所以S8＝±6＋3＝－3或9． 设等比数列{an}的公比为q． 又因为S8＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＝(1＋q4)S4，S4>0， 所以S8>0，所以S8＝9． (2)设a2＋a4＋a6＋…＋a80＝S，∵{an}是公比为3的等比数列， ∴根据性质1，得eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(a2＋a4＋…＋a80,a1＋a3＋…＋a79)＝3，∴a1＋a3＋…＋a79＝eq \f(1,3)S，∴S＋eq \f(1,3)S＝32，解得S＝24． (3)设等比数列{an}的公比为q，由题意得q>0． 若q＝1，则由Sn＝na1＝2，知S3n＝3na1＝6≠14，故q≠1． 所以eq \f(S3n,Sn)＝eq \f(1－q3n,1－qn)＝eq \f(（1－qn）（1＋qn＋q2n）,1－qn)＝1＋qn＋q2n＝eq \f(14,2)＝7， 解得qn＝2或qn＝－3(舍去)． 所以S4n＝eq \f(1－q4n,1－qn)·Sn＝eq \f(1－24,1－2)×2＝30． 答案：　(1)B　(2)B　(3)30 解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论． 　　 即时练4．已知等比数列{an}的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 C　[记所有的奇数项之和为S奇，所有的偶数项之和为S偶，由题意得数列{an}的公比q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(170,85)＝2，由数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)，得85＋170＝eq \f(1－2n,1－2)，解得n＝8．] 即时练5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(S6,S3)＝eq \f(1,2)，则eq \f(S9,S3)＝________． 解析：　由S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，得(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)．由eq \f(S6,S3)＝eq \f(1,2)，知S6＝eq \f(1,2)S3，则eq \f(1,4)Seq \o\al(2,3)＝S3·(S9－eq \f(1,2)S3)，所以S9＝eq \f(3,4)S3，所以eq \f(S9,S3)＝eq \f(3,4)． 答案：　eq \f(3,4) 等比数列前n项和的应用 为了保障幼儿园儿童的人身安全，甲、乙两省计划若干时间内两省共新购1 000辆校车．其中，甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每个月的新购量比上一个月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，以后每个月比上一个月多新购m辆． (1)求经过n个月，两省新购校车的总数S(n)； (2)若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值． 解析：　(1)设an，bn分别为甲省、乙省在第n个月新购校车的数量．依题意，知{an}是首项为10，公比为1＋50%＝eq \f(3,2)的等比数列，{bn}是首项为40，公差为m的等差数列，所以{an}的前n项和Pn＝eq \f(10[1－（\f(3,2)）n],1－\f(3,2))，{bn}的前n项和Tn＝eq \f(n[40＋40＋（n－1）m],2)＝40n＋eq \f(n（n－1）m,2)， 所以经过n个月，两省新购校车的总数为 S(n)＝Pn＋Tn＝eq \f(10[1－（\f(3,2)）n],1－\f(3,2))＋40n＋eq \f(n（n－1）m,2) ＝20[(eq \f(3,2))n－1]＋40n＋eq \f(n（n－1）m,2)＝20×(eq \f(3,2))n＋eq \f(m,2)n2＋(40－eq \f(m,2))n－20． (2)若计划在3个月内完成新购目标，则S(3)≥1 000．所以S(3)＝20×(eq \f(3,2))3＋eq \f(m,2)×32＋(40－eq \f(m,2))×3－20≥1 000，解得m≥277．5． 又m∈N＋，故所求m的最小值为278． 解数列应用题的思路和方法 即时练6．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各处几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人应赔偿(　　) A．eq \f(5,7)斗粟　　　　　 B．eq \f(10,7)斗粟 C．eq \f(15,7)斗粟 D．eq \f(20,7)斗粟 D　[设牛主人赔偿x斗粟，马主人赔偿y斗粟，羊主人赔偿z斗粟，由题意可知x，y，z成公比为eq \f(1,2)的等比数列，则x＋y＋z＝5，即x＋eq \f(1,2)x＋eq \f(1,4)x＝5，解得x＝eq \f(20,7)，所以牛的主人应赔偿eq \f(20,7)斗粟．] 即时练7．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．现有38石粮食，按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”，已知甲分得18石粮食，则“衰分比”为(　　) A．eq \f(2,3)　　 B．eq \f(1,3)　　　　 C．eq \f(3,4)　　　　 D．eq \f(1,4) A　[设“衰分比”为q，则18＋18q＋18q2＝38，解得q＝eq \f(2,3)或q＝－eq \f(5,3)(舍去)．] 1．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若eq \f(S4,S2)＝3，则eq \f(S6,S4)＝(　　) A．2　 B．eq \f(7,3)　　　 C．eq \f(3,10)　　　 D．1或2 B　[设S2＝k，则S4＝3k，由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠－1)，得 S2，S4－S2，S6－S4为等比数列， 又S2＝k，S4－S2＝2k， ∴S6－S4＝4k， ∴S6＝7k，∴eq \f(S6,S4)＝eq \f(7k,3k)＝eq \f(7,3)，故选B．] 2．已知等比数列{an}共有32项，其公比q＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是(　　) A．30 B．60 C．90 D．120 D　[设等比数列{an}的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2， 则S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a31， S2＝a2＋a4＋a6＋…＋a32＝q(a1＋a3＋a5＋…＋a31)＝3S1， 又S1＋60＝S2，则S1＋60＝3S1，解得S1＝30，S2＝90， 故数列{an}的所有项之和是30＋90＝120．故选D．] 3．等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝a1＋4a2，a5＝162，则S2 021＝________． 解析：　设数列{an}的公比为q，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S3＝a1＋a1q＋a1q2＝a1＋4a1q，,a1q4＝162，))解得q＝3，a1＝2， 所以S2 021＝eq \f(2（1－32 021）,1－3)＝32 021－1． 答案：　32 021－1 4．在等比数列{an}中，a1＋a7＝65，a3a5＝64，且an＋1<an，n∈N＋． (1)数列{an}的通项公式为__________． (2)数列{an}的前5项的和S5＝_______． 解析：　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a3a5＝64， 所以a1a7＝64，又a1＋a7＝65，且an＋1<an，所以a1＝64，a7＝1， 所以q6＝eq \f(a7,a1)＝eq \f(1,64)，解得q＝eq \f(1,2)或q＝－eq \f(1,2)(舍去)， 所以数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝64·(eq \f(1,2))n－1＝(eq \f(1,2))n－7． (2)由(1)知an＝(eq \f(1,2))n－7， 所以数列{an}的前5项的和S5＝eq \f(a1（1－q5）,1－q)＝eq \f(64[1－（\f(1,2)）5],1－\f(1,2))＝124． 答案：　(1)(eq \f(1,2))n－7　(2)124 $$