1.3.2 等比数列与指数函数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第1章 数列 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 1．3　等比数列 1．3．2　等比数列与指数函数 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 递增 递减 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 递减 递增 孤立点 摆动数列 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 综合应用 素养提升 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 随堂演练 对点落实 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 课 时 精 练（九） 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 谢谢观看！ 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 [学习目标]　1． 体会等比数列与指数函数的关系．2．利用等比数列的性质解决一些简单问题． 知识点　等比数列的单调性 [问题导引]　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示：　由an＝a1qn－1＝eq \f(a1,q)·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝eq \f(a1,q)·qx(x∈R)，当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 1． 若a1>0，q>0，c>0 (1)当q>1时，函数y＝cqx递增，数列an＝a1qn－1______； (2)当0<q<1时，函数y＝cqx递减，数列an＝a1qn－1______． 2． 若a1<0，q>0，c<0 (1)当q>1时，函数y＝cqx递减，数列an＝a1qn－1______； (2)当0<q<1时，函数y＝cqx递增，数列an＝a1qn－1______． 3．当等比数列的公比q＝1时，等比数列的各项都为常数a1，图象是一系列从左至右呈水平状的_________． 4．当等比数列的公比q<0时，该数列是____________． 已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 D　[当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当数列{an}是递增数列时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立； 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件．] (1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同．　　 即时练1．若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立； 反之：例如数列{(－1)n＋12n}，此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件．] 即时练2．等比数列{an}为递减数列，若a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则eq \f(a5,a18)等于(　　) A．eq \f(3,2)　　 B．eq \f(2,3)　　　　 C．eq \f(1,6)　　　　 D．6 A　[∵a7·a14＝a4·a17＝6，a4＋a17＝5， ∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根， 解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2， ∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a17＝a1q16＝2，,a4＝a1q3＝3，))∴q13＝eq \f(a17,a4)＝eq \f(2,3)，则eq \f(a5,a18)＝eq \f(a1q4,a1q17)＝eq \f(1,q13)＝eq \f(3,2)．] 应用一、等比数列的判定与证明 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N＋，证明：{an－1}是等比数列． 证明：　当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85， 解得a1＝－14， ∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1， ∴6an＝5an－1＋1，an－1＝eq \f(5,6)(an－1－1)， 又a1－1＝－15， ∴{an－1}是首项为－15，公比为eq \f(5,6)的等比数列． 证明数列是等比数列常用的方法 (1)定义法：eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且q≠0)或eq \f(an,an－1)＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列； (2)等比中项法：aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N＋)⇔{an}为等比数列． 即时练3．已知数列{an}满足a1＝1．若2an＋1＝3an＋1，证明：{an＋1}是等比数列． 证明：　法一：因为2an＋1＝3an＋1， 所以an＋1＝eq \f(3,2)an＋eq \f(1,2)，又a1＝1，所以an＋1≠0， eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝eq \f(\f(3,2)an＋\f(1,2)＋1,an＋1)＝eq \f(\f(3,2)an＋\f(3,2),an＋1)＝eq \f(\f(3,2)（an＋1）,an＋1)＝eq \f(3,2)，所以eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝eq \f(3,2)． 所以{an＋1}是等比数列． 法二：因为2an＋1＝3an＋1， 所以2an＋1＋2＝3an＋1＋2， 即2an＋1＋2＝3an＋3， 所以2(an＋1＋1)＝3(an＋1)， 又a1＝1，所以an＋1≠0，所以eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝eq \f(3,2)． 所以{an＋1}是以eq \f(3,2)为公比的等比数列． 应用二、等比数列中项的设法 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． 解析：　法一：设前三个数分别为eq \f(a,q)，a，aq，则eq \f(a,q)·a·aq＝216， 所以a3＝216．所以a＝6． 因此前三个数为eq \f(6,q)，6，6q． 由题意知第4个数为12q－6． 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝eq \f(2,3)． 故所求的四个数为9，6，4，2． 法二：设后三个数为4－d，4，4＋d， 则第一个数为eq \f(1,4)(4－d)2， 由题意知eq \f(1,4)(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6．所以d＝－2． 故所求的四个数为9，6，4，2． 几个数成等比数列的设法 (1)三个数成等比数列设为eq \f(a,q)，a，aq． 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，eq \f(a,q2)，eq \f(a,q)，a，aq，aq2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3． 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，eq \f(a,q5)，eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，aq5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3．　　 即时练4．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________． 解析：　设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（aq－1）＝（a－1）＋（aq2－4），,2（aq2－4）＝（aq－1）＋（aq3－13），))整理得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（q－1）2＝3，,aq（q－1）2＝6，))解得a＝3，q＝2． 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45． 答案：　45 1．在数列{an}中，如果an＝32－n(n＝1，2，3，…)，那么这个数列是(　　) A．公比为2的等比数列 B．公差为3的等差数列 C．首项为3的等比数列 D．首项为3的等差数列 C　[因为an＝32－n(n＝1，2，3，…)，所以a1＝3，a2＝1，an－1＝ 33－n(n≥2)，则有eq \f(an,an－1)＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(1,3)(n≥2)，所以{an}为等比数列，且公比q＝eq \f(1,3)，首项a1＝3．] 2．等比数列{an}中，a2＝3，a7a10＝36，则a15等于(　　) A．12　　 B．6　　　　 C．－12　　　　 D．－6 A　[由a2a15＝a7a10，得a15＝eq \f(a7a10,a2)＝eq \f(36,3)＝12，故选A．] 3．设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[设等比数列{an}的公比为q，由a1<a2，可得a1(q－1)>0，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q<1（q≠0）.))此时数列{an}不一定是递增数列； 若数列{an}为递增数列，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1.)) 所以“a1<a2”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．] 4．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于(　　) A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n A　[设公比为q，则a1q4＝－8a1q， 又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2， 又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0， 从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1．] 5．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝an(n∈N＋)，则a6＝________． 解析：　∵2an＋1＝an，a1＝2，∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2)，∴{an}是等比数列，公比q＝eq \f(1,2)． ∴a6＝a1q5＝2×(eq \f(1,2))5＝eq \f(1,16)． 答案：　eq \f(1,16) $$