1.2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第1章 数列 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 1．2．3　等差数列的前n项和 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1课时　等差数列的前n项和公式 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 综合应用 素养提升 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 随堂演练 对点落实 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练（六） 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 谢谢观看！ 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 [学习目标]　1．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 知识点　等差数列的前n项和公式 [问题导引]　对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d． 提示：　倒序相加法 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，)) ⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋（n－1）d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－（n－1）d，)) 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 Sn＝___________ Sn＝_______________ eq \f(n（a1＋an）,2) na1＋eq \f(n（n－1）,2)d 在等差数列{an}中： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d． 解析：　(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S5＝5a1＋\f(5×4,2)d＝5，,a6＝a1＋5d＝10，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝3.)) ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋eq \f(10×9,2)d＝10×(－5)＋5×9×3＝85． (2)由已知得S8＝eq \f(8（a1＋a8）,2)＝eq \f(8（4＋a8）,2)＝172，解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5．∴a8＝39，d＝5． 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)结合使用．　　 即时练1．在等差数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝7，求S9； (2)a3＋a15＝40，求S17； (3)a1＝eq \f(5,6)，an＝－eq \f(3,2)，Sn＝－5，求n和d． 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2． 故S9＝9a1＋eq \f(9×8,2)d＝9＋eq \f(9×8,2)×2＝81． (2)S17＝eq \f(17×（a1＋a17）,2)＝eq \f(17×（a3＋a15）,2)＝eq \f(17×40,2)＝340． (3)由题意得，Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝eq \f(n（\f(5,6)－\f(3,2)）,2)＝－5，解得n＝15． 又a15＝eq \f(5,6)＋(15－1)d＝－eq \f(3,2)，所以d＝－eq \f(1,6)， 所以n＝15，d＝－eq \f(1,6)． 应用一、利用数列前n项和公式判断等差数列 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 解析：　当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5． 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4， 所以数列{an}是等差数列． [变式探究] 把本例中的“Sn＝2n2－3n”改为“Sn＝2n2－3n－1”，如何求解？ 解析：　∵Sn＝2n2－3n－1，① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2， 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1，② ①－②得an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5， 经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立， 故an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2，n＝1，,4n－5，n≥2.)) 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列． 由Sn求通项公式an的步骤 (1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1． (2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1． (3)验证a1与an的关系 ①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1， ②若a1不适合an，则an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.)) 即时练2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 解析：　当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n． 又a1＝1不满足an＝2n， ∴数列{an}的通项公式是an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n，n≥2，n∈N＋.)) ∵a2－a1＝4－1＝3≠2，∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列． 应用二、求{|an|}的前n项和 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋，满足a1＋a2＝10，S5＝40． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn． 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10， S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝2，))所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2． (2)令cn＝13－an＝11－2n， bn＝|cn|＝|11－2n|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(11－2n，n≤5，,2n－11，n≥6，)) 设数列{cn}的前n项和为Qn， 则Qn＝－n2＋10n． 当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n． 当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50． 数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略 (1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解； (2)等差数列{an}中，a1>0，d<0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理； (3)等差数列{an}中，a1<0，d>0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理． 即时练3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|的值为(　　) A．61　　 B．62　　　　 C．65　　　　 D．67 D　[当n＝1时，S1＝a1＝－2．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋1)－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5， 所以an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2，n＝1，,2n－5，n≥2，)) 由通项公式得a1<a2<0<a3<a4<…<a10， 所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝102－4×10＋1－2×(－3)＝67．] 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N＋，则{an}的前n项和Sn等于(　　) A．－eq \f(3,2)n2＋eq \f(n,2)　　　 B．－eq \f(3,2)n2－eq \f(n,2) C．eq \f(3,2)n2＋eq \f(n,2) D．eq \f(3,2)n2－eq \f(n,2) A　[∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1， ∴Sn＝eq \f(n（－1＋2－3n）,2)＝－eq \f(3,2)n2＋eq \f(n,2)．] 2．在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝(　　) A．5或7 B．3或5 C．7或－1 D．3或－1 D　[由an＝a1＋(n－1)×2＝11，得a1＋an＝11－2(n－1)＋11＝22－2(n－1)，又Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝35，则eq \f(n[22－2（n－1）],2)＝35，解得n＝5或n＝7．当n＝5时，a1＝3；当n＝7时，a1＝－1，故选D．] 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为(　　) A．1　　 B．eq \f(5,3)　　　　 C．2　　　　 D．3 C　[因为S3＝eq \f(（a1＋a3）×3,2)＝6，而a3＝4，所以a1＝0，所以d＝eq \f(a3－a1,2)＝2．] 4．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________． 解析：　由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18． 答案：　18 5．数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式是an＝________． 解析：　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0； 当n≥2且n∈N＋时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]＝－2n＋2，经检验，n＝1也适合该式．故an＝－2n＋2(n∈N＋)． 答案：　－2n＋2(n∈N＋) $$