1.2.2 等差数列与一次函数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第1章 数列 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 1．2　等差数列 1．2．2　等差数列与一次函数 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 an＝a1＋(n－1)d y＝a1＋(x－1)d＝ dx＋(a1－d) 一次函数 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 直线 (n，an) y＝dx＋(a1－d) 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 y＝dx＋(a1－d) 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 综合应用 素养提升 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 随堂演练 对点落实 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练（四） 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 谢谢观看！ 第1章　数列 数 学 选择性必修 第一册 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 [学习目标]　1．体会等差数列与一元一次函数的关系．2．掌握等差数列的判断与证明方法．3．能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用． 知识点　等差数列与一次函数的关系 [问题导引]　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示：　由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，记为d＝eq \f(an－a1,n－1)(n≥2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝eq \f(an－am,n－m)，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列． 1．等差数列的通项公式与一次函数的关系 对于一般的等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，其通项公式为____________________，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到_________________ ________________， (1)当d≠0时，是____________(其中一次项系数为等差数列的公差d)； (2)当d＝0时，y＝a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是______，等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数n的孤立点__________组成． 2．等差数列的单调性 等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公差为d， (1)当d>0时，直线_________________从左至右上升，等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))递增． (2)当d<0时，直线___________________从左至右下降，等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))递减． (3)当d＝0时，y＝a1为水平方向的直线，数列为常数列． 角度一　等差数列的函数性质 已知数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n(n∈N＋)，则实数a＝________． 解析：　∵{an}是等差数列，且an＝an2＋n， ∴an是关于n的一次函数，∴a＝0． 答案：　0 熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列．　　 即时练1．等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(　　) A．第7项　　　　　 B．第8项 C．第9项 D．第10项 B　[∵a1＝20，d＝－3， ∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n， ∴a7＝2>0，a8＝－1<0． ∴数列中第一个负数项是第8项．] 角度二　等差数列的判定与证明 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)． (1)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由； (2)求an． 解析：　(1)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)， ∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,2an)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,an)， ∴eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)，即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)，公差为d＝eq \f(1,2)的等差数列． (2)由(1)可知eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)d＝eq \f(n,2)，∴an＝eq \f(2,n)，n∈N＋． 判断等差数列的方法 (1)定义法 an＋1－an＝d(n∈N＋)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋)⇔数列{an}是等差数列． (2)等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔数列{an}为等差数列． (3)通项公式法 数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．　　 即时练2．若a1＝4，an＝4－eq \f(4,an－1)(n>1)，记bn＝eq \f(1,an－2)． (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：　(1)证明：bn＋1－bn＝eq \f(1,an＋1－2)－eq \f(1,an－2) ＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(an,2（an－2）)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(an－2,2（an－2）)＝eq \f(1,2)． 又b1＝eq \f(1,a1－2)＝eq \f(1,2)， ∴数列{bn}是首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(1,2)的等差数列． (2)由(1)知bn＝eq \f(1,2)＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)n． ∵bn＝eq \f(1,an－2)，∴an＝eq \f(1,bn)＋2＝eq \f(2,n)＋2． ∴数列{an}的通项公式为an＝eq \f(2,n)＋2，n∈N＋． 即时练3．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝eq \f(1,an－1)． (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：　(1)证明：∵eq \f(1,an＋1－1)－eq \f(1,an－1)＝eq \f(an－an＋1,（an＋1－1）（an－1）)＝eq \f(1,3)， ∴bn＋1－bn＝eq \f(1,3)，又b1＝eq \f(1,a1－1)＝1， ∴{bn}是首项为1，公差为eq \f(1,3)的等差数列． (2)由(1)知bn＝eq \f(1,3)n＋eq \f(2,3)， ∴an－1＝eq \f(3,n＋2)，∴an＝eq \f(n＋5,n＋2)． 等差数列的性质及应用 性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋) 性质2 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an 性质3 若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d 性质4 若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列 性质5 若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列 性质6 若{an}为等差数列，且ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0 性质7 有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝… 性质8 若数列{an}为等差数列，公差为d，则{λan＋m}(λ，m为常数)是公差为λd的等差数列 (1)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　) A．32　　 B．27　　　　 C．24　　　 D．16 (2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为eq \f(1,4)的等差数列，则|m－n|的值是________． 解析：　(1)法一：设等差数列{an}公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8， ∴5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24． 法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． ∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， ∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7． 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5． ∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24． (2)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根， 则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为eq \f(1,4)的等差数列，现假定a＝eq \f(1,4)，则b＝2－eq \f(1,4)＝eq \f(7,4)． 根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和， ∴这个等差数列的顺序为eq \f(1,4)，c，d，eq \f(7,4)． 则c＝eq \f(3,4)，d＝eq \f(5,4)． ∴m＝ab＝eq \f(7,16)，n＝cd＝eq \f(15,16)．∴|m－n|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)－\f(15,16)))＝eq \f(1,2)． 答案：　(1)C　(2)eq \f(1,2) [变式探究] 1．若本例(1)中条件变为“a5＝8，a10＝20”，求a15． 解析：　法一：因为a5，a10，a15成等差数列， 所以a5＋a15＝2a10． 所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32． 法二：因为{an}为等差数列，设其公差为d，所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝eq \f(12,5)． 所以a15＝a10＋5d＝20＋5×eq \f(12,5)＝32． 2．若本例(1)中条件变为“a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8． 解析：　由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 得5a5＝450，∴a5＝90． ∴a2＋a8＝2a5＝180． 等差数列运算的两条常用思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量； (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar． 即时练4．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　) A．5 B．8 C．10 D．14 B　[法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8． 法二：由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8．] 即时练5．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 C　[设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100， ∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0．∴c37＝100．] 1．下列命题中，与命题“{an}为等差数列”不等价的是(　　) A．an＋1＝an＋d(d为常数) B．数列{－an}是等差数列 C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列 D．an＋1是an与an＋2的等差中项 C　[对于A，即an＋1－an＝d，故A正确． 对于B，数列{－an}是等差数列，则－an＋1＝－an＋d，d为常数．故an＋1－an＝－d，－d为常数．故B正确． 对于C，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，则eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝d，d为常数．不能推导出{an}为等差数列．故C错误．] 2．设{an}是等差数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[由{an}是等差数列，可得d＝a2－a1＝a3－a2>0，所以数列{an}是递增数列，充分性成立；若数列{an}是递增数列，则必有a1<a2<a3，即必要性成立．] 3．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于(　　) A．3　　 B．－3　　　　 C．eq \f(3,2)　　　　 D．－eq \f(3,2) A　[由等差数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7， 所以a2＝15－12＝3．] 4．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________． 解析：　∵5＋8＝2＋11＝3＋10， ∴a2＋a3＋a10＋a11＝2(a5＋a8)， ∴a5＋a8＝eq \f(1,2)×36＝18． 答案：　18 5．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12＝________． 解析：　由已知，得5a8＝120，所以a8＝24． 所以2a10－a12＝a8＋a12－a12＝a8＝24． 答案：　24 $$